If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Равенство по модулю

Сравнение по модулю

Вы можете встретить следующее выражение:
AB(mod C)
Это значит, что A равно B по модулю C.
Обсудим сравнение по модулю, проделав мысленный эксперимент с оператором деления по модулю.
Представим, что мы делим по модулю 5 все целые числа:
Подпишем 5 секторов цифрами 0, 1, 2, 3 и 4. Затем, каждое целое число мы записываем в сектор, соответствующий результату деления этого числа по модулю 5.
Представьте, что сектор — это корзина, в которую помещаются числа. Например, число 26 положим в корзину с подписью 1, поскольку 26 mod 5=1.
На рисунке выше приведены примеры чисел, которые окажутся в каждом из секторов.
Было бы полезно придумать способ как обозначить числа, оказавшиеся в одном секторе. (Обратите внимание, что число 26 в примере выше оказалось в одном секторе с числами 1, 6, 11, 16, 21).
Как правило, чтобы показать, что два значения находятся в одном секторе, говорят, что они принадлежат одному классу эквивалентности.
В случае с модулем C математическое обозначение выглядит так: AB (mod C)
Читается это выражение так: A равно (или тождественно) B по модулю C.
Изучим его подробнее:
  1. — это символ тождества, то есть A и B принадлежат одному классу эквивалентности.
  2. (mod C) говорит о том, какая операция должна быть проделана с A и B.
  3. Встретив оба этих обозначения, мы называем “тождеством или равенством по модулю C.
например, 2611 (mod 5)
26 mod 5=1, значит, оно находится в одном классе эквивалентности с 1,
11 mod 5=1, значит, оно также находится в одном классе эквивалентности с 1.
Обратите внимание, что это не то же самое что A mod C: 2611 mod 5.

Подробнее о сравнении по модулю

Мы можем изучить свойства сравнения по модулю, проведя тот же мысленный эксперимент над натуральным числом C.
Сначала отметим C секторы числами 0,1,2,,C2,C1.
Затем мы поместим каждое целое число в сектор, соответствующий этому целому числу mod C.
Ниже на иллюстрации приведены примеры чисел, которые окажутся в каждом секторе.
Если взглянуть на корзину с надписью 0, мы найдём в ней:
,3C,2C,C,0,C,2C,3C,
Если мы заглянем в корзину с надписью 1, то мы там обнаружим:
,13C,12C,1C,1,1+C,1+2C,1+3C,
Если мы заглянем в корзину с надписью 2, то мы там обнаружим:
,23C,22C,2C,2,2+C,2+2C,2+3C,
Если мы заглянем в корзину с C1, то мы там обнаружим:
,2C1,C1,1,C1,2C1,3C1,4C1
Из этого эксперимента мы можем сделать следующий вывод.
Числа в каждой из корзин равняются подписи плюс-минус некое кратное числу C.
Это значит, что разность между любыми двумя числами в одном секторе — это целое число, кратное C.
Это наблюдение поможет нам понять дальнейшие эквивалентные выражения и классы эквивалентности.

Хотите присоединиться к обсуждению?

Пока нет ни одной записи.
Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.