If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Равенство по модулю

Сравнение по модулю

Вы можете встретить следующее выражение:
A, \equiv, B, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Это значит, что A равно B по модулю C.
Обсудим сравнение по модулю, проделав мысленный эксперимент с оператором деления по модулю.
Представим, что мы делим по модулю 5 все целые числа:
Подпишем 5 секторов цифрами 0, 1, 2, 3 и 4. Затем, каждое целое число мы записываем в сектор, соответствующий результату деления этого числа по модулю 5.
Представьте, что сектор — это корзина, в которую помещаются числа. Например, число 26 положим в корзину с подписью 1, поскольку 26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1.
На рисунке выше приведены примеры чисел, которые окажутся в каждом из секторов.
Было бы полезно придумать способ как обозначить числа, оказавшиеся в одном секторе. (Обратите внимание, что число 26 в примере выше оказалось в одном секторе с числами 1, 6, 11, 16, 21).
Как правило, чтобы показать, что два значения находятся в одном секторе, говорят, что они принадлежат одному классу эквивалентности.
В случае с модулем C математическое обозначение выглядит так: A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
Читается это выражение так: A равно (или тождественно) B по модулю C.
Изучим его подробнее:
  1. \equiv — это символ тождества, то есть A и B принадлежат одному классу эквивалентности.
  2. left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis говорит о том, какая операция должна быть проделана с A и B.
  3. Встретив оба этих обозначения, мы называем “\equivтождеством или равенством по модулю C.
например, 26, \equiv, 11, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis
26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, значит, оно находится в одном классе эквивалентности с 1,
11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, значит, оно также находится в одном классе эквивалентности с 1.
Обратите внимание, что это не то же самое что A, start text, space, m, o, d, space, end text, C: 26, does not equal, 11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5.

Подробнее о сравнении по модулю

Мы можем изучить свойства сравнения по модулю, проведя тот же мысленный эксперимент над натуральным числом C.
Сначала отметим C секторы числами 0, comma, 1, comma, 2, comma, dots, comma, C, minus, 2, comma, C, minus, 1.
Затем мы поместим каждое целое число в сектор, соответствующий этому целому числу start text, m, o, d, space, end text, C.
Ниже на иллюстрации приведены примеры чисел, которые окажутся в каждом секторе.
Если взглянуть на корзину с надписью 0, мы найдём в ней:
dots, comma, minus, 3, C, comma, minus, 2, C, comma, minus, C, comma, 0, comma, C, comma, 2, C, comma, 3, C, comma, dots
Если мы заглянем в корзину с надписью 1, то мы там обнаружим:
dots, comma, 1, minus, 3, C, comma, 1, minus, 2, C, comma, 1, minus, C, comma, 1, comma, 1, plus, C, comma, 1, plus, 2, C, comma, 1, plus, 3, C, comma, dots
Если мы заглянем в корзину с надписью 2, то мы там обнаружим:
dots, comma, 2, minus, 3, C, comma, 2, minus, 2, C, comma, 2, minus, C, comma, 2, comma, 2, plus, C, comma, 2, plus, 2, C, comma, 2, plus, 3, C, comma, dots
Если мы заглянем в корзину с C, minus, 1, то мы там обнаружим:
dots, comma, minus, 2, C, minus, 1, comma, minus, C, minus, 1, comma, minus, 1, comma, C, minus, 1, comma, 2, C, minus, 1, comma, 3, C, minus, 1, comma, 4, C, minus, 1, dots
Из этого эксперимента мы можем сделать следующий вывод.
Числа в каждой из корзин равняются подписи плюс-минус некое кратное числу C.
Это значит, что разность между любыми двумя числами в одном секторе — это целое число, кратное C.
Это наблюдение поможет нам понять дальнейшие эквивалентные выражения и классы эквивалентности.

Хотите присоединиться к обсуждению?

Пока нет ни одной записи.
Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.