If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Умножение по модулю

Рассмотрим мультипликативное свойство модульной арифметики:

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

Пример умножения

Допустим A=4, B=7, C=6
Нужно доказать, что (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
ЛЧ= Левая часть равенства
ПЧ= Правая часть равенства
ЛЧ = (A * B) mod C
ЛЧ = (4 * 7) mod 6
ЛЧ = 28 mod 6
ЛЧ = 4
ПЧ= (A mod C * B mod C) mod C
ПЧ = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6
ПЧ = (4 * 1) mod 6
ПЧ = 4 mod 6
ПЧ = 4
ЛЧ = ПЧ = 4

Доказательство свойства умножения по модулю

Докажем, что (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
Для этого нужно показать, что ЛЧ= ПЧ
Из теоремы о делимости с остатком следует, что A и B можно записать в виде:
A = C * Q1 + R1, где 0 ≤ R1 < C, а Q1 — некое целое число. A mod C = R1
B = C * Q2 + R2, где 0 ≤ R2 < C, а Q2 — некое целое число. B mod C = R2
ЛЧ = (A + B) mod C
ЛЧ = (C * (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
ЛЧ = (C * C * Q1 * Q2 + C * Q1 * R2 + C * Q2 * R1 + R1 * R 2 ) mod C
ЛЧ = (C * (C * Q1 * Q2 + Q1 * R2 + Q2 * R1) + R1 * R 2 ) mod C
Мы можем опустить кратные C числа при делении по модулю C
ЛЧ = (R1 + R2) mod C
Теперь рассмотрим ПЧ
ПЧ = (A mod C * B mod C) mod C
ПЧ = (R1 * R2 ) mod C
Следовательно, ЛЧ=ПЧ
ЛЧ = ПЧ = (R1 * R2 ) mod C

Хотите присоединиться к обсуждению?

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.