Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы хотим доказать некие свойства, касающиеся модульной арифметики, мы часто напрямую пользуемся теоремой о делимости с остатком.
Это простая мысль, вытекающая из принципа деления столбиком.

Теорема о делимости с остатком гласит следующее.
Для любого целого числа A и любого натурального числа B существует единственная пара чисел Q и R, таких что

Понятно, почему это напрямую следует из деления столбиком. Когда мы делим A на B столбиком, Q — это частное, а R — остаток.
Если мы можем представить число в таком виде, то A mod B = R.

A = 7, B = 2

7 = 2 * 3 + 1
7 mod 2 = 1

A = 8, B = 4

8 = 4 * 2 + 0
8 mod 4 = 0

A = 13, B = 5

13 = 5 * 2 + 3
13 mod 5 = 3

A = -16, B = 26

-16 = 26 * -1 + 10
-16 mod 26 = 10