If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:17:36

Задача о сходящемся геометрическом ряде: ипотека

Транскрипция к видео

Здравствуйте! Этот урок будет посвящен как теме финансов, так и математике. Мы решим задачу, в которой рассматривается самый актуальный вопрос на сегодняшний день вопрос. Все мы знаем, что такое кредит. Люди берут кредиты на приобретение мебели, авто, жилья. Предположим, мы берем 200 тыс. долларов кредита на покупку дома. Давайте это запишем: 200К, где К – это тысяча долларов кредита. И выплатить кредит мы хотим в течение 30 лет, или в течение 360 месяцев, ведь выплаты осуществляются ежемесячно, и процент начисляется каждый месяц. И, допустим, мы берем кредит под 6% годовых. И поскольку обычно процент начисляют раз в месяц, то 6%/12=0,5%. Это месячный процент. Сотрудник банка вводит все эти данные в компьютер, программа выполняет ряд вычислений и выдает следующую информацию: каждый месяц мы должны выплачивать по 1200 долларов. Если мы каждый месяц будем выплачивать по 1200 долларов в течение 360 месяцев, то в результате мы выплатим 200 тыс. долларов плюс процент, который накопился за все это время. Но это значение, чтобы вы не думали, не так-то просто найти. Давайте я покажу, как эта система работает. В нулевой день сумма кредита составляет 200 тыс. долларов. Вы не осуществляете никаких выплат, никакой процент не начисляется. Процент начисляется только спустя месяц. Он будет составлять 0,5% от всей суммы кредита, или 0,005. Значит, спустя месяц сумма долга будет равна 200К (напоминаю, что К – это тысяча) умножить на (1+0,005), то есть на 1,005. И спустя месяц мы выплачиваем 1200 долларов. Спустя второй месяц начисляется процент, который равен 0,5% или 0,005 от суммы, которая осталась после первого месяца. Умножаем эту сумму на 1,005. И опять-таки спустя месяц мы выплачиваем 1200 долларов… минус 1200 долларов. И так происходит 360 раз. И если мы все это попробуем записать, то получится просто нереально большое выражение. Только представьте 360 вот таких скобок. И все это, конечно же, будет равно 0. Ведь когда вы осуществите свой последний платеж, вы окончательно рассчитаетесь по кредиту. Но меня все еще интересует вопрос, как в банке вычислили эту сумму. Обозначим ее через р. Есть ли какой-то аналитический способ вычисления этой суммы? Давайте рассуждать абстрактно. Предположим, L – это сумма кредита (тело кредита). i, допустим, - это месячный процент, n – это количество месяцев, и, наконец, р – это сумма ежемесячной выплаты, состоящая как из процента, так и из самой суммы кредита. Каждый месяц в течение срока погашения кредита мы должны выплачивать эту сумму р, чтобы погасить задолженность (сумму кредита и начисленный процент). Итак, р – это сумма (размер) ежемесячной выплаты. Теперь давайте это же выражение запишем, так сказать, абстрактно. Начинаем с суммы кредита L. Спустя месяц к этой сумме прибавляется еще процент. Значит, L мы должны умножить на (1+i). В данном случае i=0,005. Также спустя месяц мы вносим первую оплату по кредиту, которая равна р… минус р. Вот такой будет сумма кредита по окончанию первого месяца. Далее начисляется процент за второй месяц, сумма кредита будет уже вот такой, и опять по окончанию месяца мы производим ежемесячную оплату. И этот процесс происходит 360 раз, но поскольку мы рассуждаем абстрактно, то этот процесс происходит n раз. Здесь у нас должно быть всего 360 выражений (1+i)-р. Всего n выражений. И когда мы запишем n раз это выражение, то в результате это произведение будет равно 0. Вопрос: «Как найти р?» Если мы знаем, чему равно тело кредита, процент и сроки погашения кредита, то как в таком случае можно вычислить р? Согласитесь, уравнение вовсе непростое. Посмотрим, можно ли что-то сделать. Давайте попробуем записать это выражение в общем виде. Начнем с примера, когда n=1. Если n=1, то ситуация выглядит следующим образом. Мы берем тело кредита, начисляем месячный процент (умножить на (1+i)) и вычитаем ежемесячный платеж по кредиту… минус р. Это пример оплаты кредита сроком на месяц. Значит, после выплаты, сумма кредита равна 0. И если нам нужно найти р, то р равно L*(1+i). Разделим обе части на (1+i) и получим р/(1+i)=L. Вы, вероятно, скажете: «Мы ведь уже здесь выразили р. Зачем еще нужно было делить на (1+i)?» Я это сделала для того, чтобы потом вы смогли увидеть принцип, по которому записываются эти уравнения. Теперь запишем уравнение для n=2. Опять-таки сначала записываем тело кредита, начисляем процент к этой сумме и вычитаем месячную оплату по кредиту. Затем к сумме, которая в результате осталась, мы опять начисляем процент и вычитаем второю оплату по кредиту. Это пример оплаты кредита сроком на два месяца. Значит, в результате это выражение будет равно 0. Вы ничего не должны, вы все заплатили за два месяца, и сам кредит и проценты. Теперь выразим р из этого равенства. Прибавим р к обеим частям равенства и поменяем части равенства местами. Итак, это зеленое р равно всему этому выражению L*(1+i) минус розовое р. И розовое, и зеленое р – это одно и то же. Это просто, чтобы мы не запутались в вычилениях… минус р и умножить на (1+i). Если мы разделим обе части на (1+i), мы получим равенство: р/(1+i)=L*(1+i)-p. Теперь прибавим розовое р к обеим частям равенства. Это будет р+(р/(1+i))=L*(1+i). Теперь разделим обе части на (1+i) и получим: р/(1+i)+р/(1+i)²=L. Происходит кое-что интересное. В первом случае мы берем сумму выплаты, уменьшаем ее на процентную ставку и в результате получаем тело кредита. Во втором же случае мы рассматриваем каждую выплату в отдельности, уменьшаем каждую на (1+i) в степени, показатель которой равен количеству месяцев, за которые осуществляется эта выплата, и в результате опять-таки получаем тело кредита. И если вы проделаете то же самое для n=3, то получите аналогичное равенство. Можете самостоятельно это сделать, а я сразу запишу равенство, которое получится в результате. Оно будет выглядеть так: L (тело кредита) равно р/(1+i) плюс р/(1+i)² плюс р/(1+i) в кубе. Можете проверить, действительно ли это так, проделав все эти действия. Итак, мы пришли к выводу, что тело кредита можно представить в виде суммы выплат. В общем, не для конкретного n, мы можем сказать, что тело кредита L (вынесем р за скобки) равно р умножить на 1/(1+i)+1/(1+i)^2+… и так далее n раз… плюс 1/(1+i)^n. Вам, вероятно, эта форма записи знакома. Это не что иное, как геометрический ряд, сумма членов геометрической прогрессии. Этот геометрический ряд (частичная сумма геометрического ряда) и есть формула для вычисления суммы этого ряда. Давайте подпишем, что это геометрический ряд (частичная сумма геометрического ряда). Вот вам и применение суммы геометрического ряда в реальной жизни. И этот ряд мы можем записать как сумму единицы, деленной на (1+i) в степени (выберем другую букву) j, где j принимает значения от 1 (правильно, это ведь первая степень) до n. Вот так мы еще можем записать эту сумму. Теперь давайте попробуем как-то найти р, используя более простой способ. Мы, конечно, могли найти сумму вот этих 360-ти членов, потом разделить эту сумму на L и получить р. Но вы представляете, сколько это работы? Тем более, что есть способ попроще. Давайте облегчим себе вычисления и введем переменную. Пусть q=1/(1+i). А всю эту сумму давайте обозначим через S. Эта сумма равна S. И если q=1/(1+i), то S в таком случае равно… это q^1, это q^2, правильно? Если мы возведем числитель в квадрат, то получим 1, возведем знаменатель в квадрат – получим (i+1)^2. Значит, плюс q^2 плюс q^3 плюс так далее... q^n. Я всегда забываю формулы, поэтому сейчас это отличная возможность вывести формулу суммы геометрического ряда. Итак, умножим обе части этого равенства на q. В левой части мы получим q*S, а что получится в правой части? Мы умножаем все слагаемые на q. Если мы умножим q^1 на q, то это будет q^2. Умножим q^2 на q – получим q^3, и так далее. Если же мы умножим… здесь давайте еще допишем q^(n-1). Если мы умножим q^(n-1) на q, то получим q^n. А если умножим q^n на q, то получим q^(n+1). Все эти слагаемые – это все эти слагаемые, умноженные на q. Теперь давайте вычтем нижнее равенство из верхнего. В левой части мы получим S-q*S. А что будет в правой части? Мы вычитаем эту сумму из этой. q^1. q^2-q^2=0, эти два слагаемые уходят, их сумма равна 0. Аналогично сумма и этих слагаемых равна 0. Уходят все слагаемые, за исключением первого члена первой суммы и последнего члена второй суммы. В этом и соль. Значит, в правой части мы записываем: q^1-q^(n+1). Выносим за скобки S и получаем: S(1-q) (я всего лишь вынесла за скобки S) равно q^1-q^(n+1). И если мы разделим обе части на (1-q), мы получим: S равно q (можно первую степень не записывать) минус q^(n+1), и все это делится на (1-q). Вот этому выражению и равна наша сумма. Зная, что q равно этому выражению, мы можем переписать полностью это равенство как L (тело кредита) равно ежемесячной выплате р умножить на это выражение, то есть на (q-q^(n+1))/(1-q). Теперь, чтобы выразить р, нужно всего лишь умножить на дробь, обратную этой в правой части. В результате мы получим: р равно L (телу кредита) умножить на дробь, обратную этой… умножить на (1-q)/(q-q^(n+1)), где q равно этому выражению. Вот мы и записали формулу, по которой вычисляется размер месячной выплаты. Давайте ее применим. Итак, тело кредита L равно 200К (не забываем, что К – это тысяча), процентная ставка равна 6% годовых или 0,5% месячных, или 0,005, и n=360 месяцев. Посмотрим, что в итоге получится. Сначала вычислим, чему равно q. q=1/(1+i). Итак, 1/(1+0,005), 0,005 – это i. И q=0,995 (мы немного округлили, но, думаю, это не так страшно, сейчас главное – понять принцип). Давайте это запишем: q=0,995. Мы вычислили q по этой формуле. А чему равна месячная выплата? Она равна телу кредита, то есть 200 000 долларов, умножить на 1-q, значит, 1-0,995, деленное на q, которое равно 0,995, минус опять q, минус 0,995, в степени n+1, то есть в степени 361. Закрываем скобки. И наш окончательный ответ – приблизительно 1200 долларов (если бы мы не округляли, у нас было бы более точное число). Вот таким образом мы вычислили, чему равно р. р=1200 долларам. Не так уж просто, но, тем не менее, теперь вы знаете, каким образом осуществляются все эти вычисления в банке. На этом все. До скорых встреч!