Правило 72 для сложных процентов

В предыдущем сюжете мы говорили о начислении сложных процентов. Рассматривались проценты, начисляемые на проценты каждый год, а не непрерывно, как во многих банках. Я хотел объяснить то, что, несмотря на простоту идеи, каждый год вы получаете 10% от суммы, с которой вы начали в этом году. Это называется «сложный процент», каждый год вы получаете доход не только на ваш начальный вклад, но также на добавившиеся проценты предыдущего года. Вот почему это называется сложным процентом. Хотя идея достаточно проста, вычисления могут быть каверзными. Если у вас хороший калькулятор, вы можете вычислить часть этих вещей. Но практически невозможно сделать все вычисления в уме. В конце прошлого сюжета мы рассказали, что происходит, если взять 100 долларов и получить сложные проценты при 10% годовых — отсюда берётся эта 1. Сколько времени мне потребуется, чтобы удвоить сумму и решить задачу? У большинства калькуляторов нет функции вычисления логарифма по основанию 1.1. Я демонстрировал это в сюжете. Вы можете сказать, что x равен логарифму по основанию 10 числа 2, поделённому на логарифм по основанию 1,1 числа 2. Это другой метод подсчёта логарифма по основанию 1,1 числа 2. Это должен быть логарифм по основанию 10 числа 1,1. Большинство калькуляторов имеют функцию логарифма по основанию 10. А это эквивалентно. Я доказал это в других сюжетах. Чтобы решить, сколько времени понадобится, чтобы удвоить мои деньги при 10% годовых, мы должны ввести это в калькулятор. У нас будет 2, и мы возьмём логарифм двух, 0,3, разделить на 1,1 и логарифм вот этого — мы близки к парантезе — 7,27 года. Приблизительно 7,3 года. Итак, приблизительно 7,3 года. Как мы убедились в прошлом сюжете, вовсе не просто рассчитать, но даже если вы понимаете расчёты, их непросто выполнить в уме. Скорее невозможно вычислить в уме. Существует правило, позволяющее приблизиться к ответу. Сколько вам потребуется времени, чтобы удвоить ваши деньги? Правило семидесяти двух. Иногда это правило семидесяти или шестидесяти девяти. Но правило 72 встречается чаще всего, если вы говорите о начислении сложных процентов за период времени. Но оно не для непрерывного начисления. При непрерывном начислении больше подойдёт 69 или 70. Сейчас я объясню. Допустим, у меня 10% сложных в год. И так, 10% за год. Используя правило 72, найдём, сколько времени мне понадобится, чтобы удвоить деньги. Я беру 72 — вот почему это называется правилом 72 — и делю его на проценты. В данном случае на 10. Берём десятичное представление, поэтому 0,1. Это 10 от 100 процентов. Итак, 72 делим на 10. Получаю 7,2. 7,2 года. Если бы мы взяли 10% сложных в месяц, то получилось бы 7,2 месяца. Итак, я получил 7,2 года, что близко к тому, что мы получили путём сложных вычислений. По такому же образцу решим другую задачу. Допустим, у меня сложных 6% в год. Еще раз, сложных 6% в год. Вот так. Используя правило 72, я беру 72 и делю на 6. Получаю 6 в 72 12 раз. 12 лет потребуется, чтобы удвоить сумму, если я получаю 6% на свой вклад ежегодно. Посмотрим, сработает ли это. В прошлый раз мы узнали другой способ решения задачи. Ответ должен быть близок к логарифму 2 по основанию 10, разделить на... вот откуда удвоение, два – это два умножить на наши деньги... делённому на логарифм 1,06 по основанию 10. В данном случае вместо 1,1 возьмём 1,06. Берем калькулятор. У нас 2, логарифм этого делим на 1,06, равно 11,89. Примерно 11,9. Произведя все эти вычисления, получаем 11,9. Прекрасный подход, как вы видите, и вычисления гораздо проще. Большинство из нас может проделать это в уме. Прекрасный способ впечатлить людей. Для лучшего понимания того, насколько хорошо число 72, я нарисовал таблицу. Возьмём разные процентные ставки. Вот фактическое время удвоения. Я использую эту формулу здесь, чтобы вычислить точное значение времени удвоения. Это в годах, если мы берём годовые начисления. Если у вас 1%, то понадобится 70 лет для удвоения средств. При 25% вам понадобится немногим больше 3 лет для удвоения вклада. Я напишу синим число вот здесь. Это факт. Вот так. Факт. И я нарисовал это здесь тоже. Если вы посмотрите на синюю линию, увидите фактические значения. Я не считал их все. Я начал примерно с 4%. Если взять 4%, то понадобится 17,6 года, чтобы удвоить деньги при данной ставке. Возьмём эту точку. При 5% понадобится 14 лет для удвоения средств. Вы видите, что каждый процент имеет значение, если вы говорите о сложных процентах. При 2% понадобится 35 лет. При 1% — 70 лет. Вы удваиваете свои деньги в 2 раза быстрее. Это важно, если вы думаете об удвоении или даже увеличении в 3 раза ваших средств. Теперь красным — что говорит правило 72? Если вы берёте 72 и делите на 1%, то получаете 72. Если берёте 72 и делите на 4, то получаете 18. Правило 72 говорит о том, что вам понадобится 18 лет, чтобы удвоить деньги. При ставке 4% ответ равен 17,7 года. Это достаточно близко. Итак, в красном квадрате — я нарисовал это здесь — линии очень близки. Для низких процентных ставок, вот таких, правило 72 немного преувеличивает срок удвоения ваших денег. И так, правило 72 немного преувеличивает срок удвоения ваших денег. Более высокие процентные ставки немного занизят срок удвоения. Насколько число 72 является оптимальным? Давайте сделаем так. Если вы возьмёте процентную ставку и умножите на фактическое время удвоения, то получите множество чисел. Для низкой ставки хорошо подходит 69. Для очень высоких ставок работает 78. Но если вы посмотрите сюда, то 72 покажется достаточно подходящим по совпадениям. Оно прекрасно послужило нам с 4% до 25%. Это самые вероятные ставки в реальной жизни. Надеюсь, вам это было полезно. Это простой способ посчитать, когда удвоится ваш вклад. Возьмём ещё один пример. Допустим, у меня сложных 9% годовых. Сколько потребуется для удвоения моих денег? 72 делим на 9, равно 8 годам. Мне понадобится 8 лет, чтобы удвоить эти деньги. Это приблизительный ответ. Но, на самом же деле понадобится 8,04 года. И снова расчёт оказался достаточно близок к верному ответу.