Основное содержание
Статистика для средней школы
Course: Статистика для средней школы > Модуль 2
Урок 3: Меры разброса данных: итогиПошаговое вычисление среднеквадратического отклонения
Введение
В этой статье мы научимся считать среднеквадратическое отклонение «вручную».
Любопытно, но в реальном мире статистики никогда не станет вычислять среднеквадратическое отклонение вручную. Эти расчёты достаточно сложные и трудоёмкие, велика вероятность наделать ошибок. Кроме того, считать вручную — это медленно. Очень медленно. Именно поэтому статистики полагаются в этом вопросе на электронные таблицы и компьютерные программы.
В таком случае, зачем вообще написана эта статья? Почему мы тратим время на изучение метода, который статистики на самом деле не используют? Дело в том, что научившись делать вычисления вручную, мы поймём, как на самом деле “работает”среднеквадратическое отклонение. Очень важно понять смысл этого показателя. Вместо того, чтобы рассматривать среднеквадратическое отклонение как какое-то магическое число, которое выдаёт нам наша электронная таблица или компьютерная программа, мы сможем объяснить, откуда взялась эта величина.
Общий принцип вычисления среднеквадратического отклонения
Формула среднеквадратического отклонения (СО)
где sum означает «сумма», x — это одно значение из выборки, mu — среднее арифметическое, а N — количество элементов в выборке.
Формула среднеквадратического отклонения может показаться запутанной, но всё станет понятно, как только мы разберём её на составные части. Ниже мы пошагово рассмотрим её на примере. Вот краткое перечисление этапов:
Этап 1: Находим среднее арифметическое.
Этап 2: Для каждого элемента находим квадрат его расстояния до среднего арифметического.
Этап 3: Суммируем все результаты, полученные на втором шаге.
Этап 4: Делим полученное число на количество элементов.
Этап 5: Извлекаем квадратный корень.
Важное замечание
Приведенная выше формула предназначена для нахождения среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. Если вы имеете дело с выборкой, вам понадобится немного другая формула (она приведена ниже), где вместо N используется n, minus, 1. Однако цель данной статьи — объяснить вам основные принципы вычисления среднеквадратического отклонения вне зависимости от формулы, которую вы используете.
Пошаговый разбор вычисления среднеквадратического отклонения.
В первую очередь нам понадобится набор данных. Давайте выберем не слишком большой набор, чтобы нам не пришлось иметь дело с огромным количеством точек. Вот хороший пример:
Этап 1. Находим start color #e07d10, mu, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
На этом этапе мы находим среднее арифметическое набора данных, которое затем обозначаем буквой mu.
Этап 2. Находим start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
На этом шаге мы находим разницу между каждым элементом из набора данных и средним арифметическим (то есть отклонение) и возводим в квадрат каждое из этих отклонений.
Например, первый элемент в наборе — 6, а среднее арифметическое — 3, значит, разница между ними равна 3. Возводим в квадрат и получаем 9.
Этап 3: Находим start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 в square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root
Символ sum означает «сумма», то есть на этом этапе мы суммируем четыре числа, полученные на этапе 2.
Этап 4. Находим start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 из square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root
На этом шаге мы делим результат, полученный из третьего этапа на N, на количество элементов в наборе.
Этап 5. Находим среднеквадратическое отклонение square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Почти закончили! Осталось извлечь квадратный корень из результата четвёртого этапа — и на этом всё.
Да! Мы это сделали! Мы успешно посчитали среднеквадратическое отклонение небольшого набора данных.
Подведём итоги
Мы разбили формулу на пять этапов:
Этап 1. Находим среднее арифметическое mu.
Шаг 2: Находим квадрат расстояния от каждой точки данных до среднего арифметического open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
x | open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared | |
---|---|---|
6 | open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9 | |
2 | open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1 | |
3 | open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0 | |
1 | open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4 |
Steps 3, 4, and 5:
Попробуйте сами
Давайте вспомним формулу:
Хотите присоединиться к обсуждению?
- Я даже через калькулятор проверил)))(1 голос)
- Почему в конце когда я вбиваю в среднеквадратическое отклонение (последний пример), округлив его до сотен - 2,31 при проверке, ответ является не правильным?(1 голос)
- Ой, я перепроверил, результат вышел другой, получается, что не правильный ответ это моя вина о моей торопливости(1 голос)
- Скажите, пожалуйста, как найти квадратный корень из 3,5?(1 голос)
- Ссылка на урок о дисперсии и среднеквадратическом отклонении выборки(Открывается в новом окне) не открывается(1 голос)