If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Статистика для средней школы

Course: Статистика для средней школы > Модуль 2

Урок 3: Меры разброса данных: итоги
Математика
Статистика для средней школы
Распределение данных
Меры разброса данных: итоги
© 2023 Khan AcademyУсловия использования материалов сайтаПолитика конфиденциальностиCookie Notice

Пошаговое вычисление среднеквадратического отклонения

Классная комната Google

Введение

В этой статье мы научимся считать среднеквадратическое отклонение «вручную».
Любопытно, но в реальном мире статистики никогда не станет вычислять среднеквадратическое отклонение вручную. Эти расчёты достаточно сложные и трудоёмкие, велика вероятность наделать ошибок. Кроме того, считать вручную — это медленно. Очень медленно. Именно поэтому статистики полагаются в этом вопросе на электронные таблицы и компьютерные программы.
В таком случае, зачем вообще написана эта статья? Почему мы тратим время на изучение метода, который статистики на самом деле не используют? Дело в том, что научившись делать вычисления вручную, мы поймём, как на самом деле “работает”среднеквадратическое отклонение. Очень важно понять смысл этого показателя. Вместо того, чтобы рассматривать среднеквадратическое отклонение как какое-то магическое число, которое выдаёт нам наша электронная таблица или компьютерная программа, мы сможем объяснить, откуда взялась эта величина.

Общий принцип вычисления среднеквадратического отклонения

Формула среднеквадратического отклонения (СО)
start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
где sum означает «сумма», x — это одно значение из выборки, mu — среднее арифметическое, а N — количество элементов в выборке.
Формула среднеквадратического отклонения может показаться запутанной, но всё станет понятно, как только мы разберём её на составные части. Ниже мы пошагово рассмотрим её на примере. Вот краткое перечисление этапов:
Этап 1: Находим среднее арифметическое.
Этап 2: Для каждого элемента находим квадрат его расстояния до среднего арифметического.
Этап 3: Суммируем все результаты, полученные на втором шаге.
Этап 4: Делим полученное число на количество элементов.
Этап 5: Извлекаем квадратный корень.

Важное замечание

Приведенная выше формула предназначена для нахождения среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. Если вы имеете дело с выборкой, вам понадобится немного другая формула (она приведена ниже), где вместо N используется n, minus, 1. Однако цель данной статьи — объяснить вам основные принципы вычисления среднеквадратического отклонения вне зависимости от формулы, которую вы используете.
start text, С, О, end text, start subscript, start text, в, ы, б, о, р, к, и, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Пошаговый разбор вычисления среднеквадратического отклонения.

В первую очередь нам понадобится набор данных. Давайте выберем не слишком большой набор, чтобы нам не пришлось иметь дело с огромным количеством точек. Вот хороший пример:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Этап 1. Находим start color #e07d10, mu, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

На этом этапе мы находим среднее арифметическое набора данных, которое затем обозначаем буквой mu.
Заполните пропуск.
mu, equals
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Этап 2. Находим start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 из square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

На этом шаге мы находим разницу между каждым элементом из набора данных и средним арифметическим (то есть отклонение) и возводим в квадрат каждое из этих отклонений.
Например, первый элемент в наборе — 6, а среднее арифметическое — 3, значит, разница между ними равна 3. Возводим в квадрат и получаем 9.
Заполните таблицу.
Элемент xКвадрат разницы между значением переменной и средним арифметическимopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Этап 3: Находим start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 в square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

Символ sum означает «сумма», то есть на этом этапе мы суммируем четыре числа, полученные на этапе 2.
Заполни пропуск.
sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Этап 4. Находим start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 из square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

На этом шаге мы делим результат, полученный из третьего этапа на N, на количество элементов в наборе.
Заполни пропуск.
start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Этап 5. Находим среднеквадратическое отклонение square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

Почти закончили! Осталось извлечь квадратный корень из результата четвёртого этапа — и на этом всё.
Заполните пропуск.
Округлите ответ до сотых.
start text, С, р, е, д, н, е, к, в, а, д, р, а, т, и, ч, е, с, к, о, е, space, о, т, к, л, о, н, е, н, и, е, space, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Да! Мы это сделали! Мы успешно посчитали среднеквадратическое отклонение небольшого набора данных.

Подведём итоги

Мы разбили формулу на пять этапов:
Этап 1. Находим среднее арифметическое mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
Шаг 2: Находим квадрат расстояния от каждой точки данных до среднего арифметического open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
xopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Steps 3, 4, and 5:
СО=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Суммируем квадраты расстояний (Этап 3).=3,5        Делим полученное число на количество элементов. (Этап 4).≈1,87        Извлечём квадратный корень (Этап 5).\begin{aligned} \text{СО} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text {Суммируем квадраты расстояний (Этап 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{Делим полученное число на количество элементов. (Этап 4).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{Извлечём квадратный корень (Этап 5).} \end{aligned}

Попробуйте сами

Давайте вспомним формулу:
start text, С, О, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
А вот набор данных:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Найдите среднеквадратическое отклонение этих данных.
Округлите ответ до сотых.
start text, С, р, е, д, н, е, к, в, а, д, р, а, т, и, ч, е, с, к, о, е, space, о, т, к, л, о, н, е, н, и, е, end text, equals
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1, space, 3, slash, 4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти
Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.