Если Вы читаете это сообщение, то это значит, что у нас есть проблемы с загрузкой внешних ресурсов для нашего веб сайта.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основное содержание

Пошаговое вычисление среднеквадратического отклонения

Введение

В этой статье мы научимся считать среднеквадратическое отклонение «вручную».
Любопытно, но в реальном мире статистики никогда не станет вычислять среднеквадратическое отклонение вручную. Эти расчёты достаточно сложные и трудоёмкие, велика вероятность наделать ошибок. Кроме того, считать вручную — это медленно. Очень медленно. Именно поэтому статистики полагаются в этом вопросе на электронные таблицы и компьютерные программы.
В таком случае, зачем вообще написана эта статья? Почему мы тратим время на изучение метода, который статистики на самом деле не используют? Дело в том, что научившись делать вычисления вручную, мы поймём, как на самом деле “работает”среднеквадратическое отклонение. Очень важно понять смысл этого показателя. Вместо того, чтобы рассматривать среднеквадратическое отклонение как какое-то магическое число, которое выдаёт нам наша электронная таблица или компьютерная программа, мы сможем объяснить, откуда взялась эта величина.

Общий принцип вычисления среднеквадратического отклонения

Формула среднеквадратического отклонения (СО)
СО=|xμ|2N
где означает «сумма», x — это одно значение из выборки, μ — среднее арифметическое, а N — количество элементов в выборке.
Формула среднеквадратического отклонения может показаться запутанной, но всё станет понятно, как только мы разберём её на составные части. Ниже мы пошагово рассмотрим её на примере. Вот краткое перечисление этапов:
Этап 1: Находим среднее арифметическое.
Этап 2: Для каждого элемента находим квадрат его расстояния до среднего арифметического.
Этап 3: Суммируем все результаты, полученные на втором шаге.
Этап 4: Делим полученное число на количество элементов.
Этап 5: Извлекаем квадратный корень.

Важное замечание

Приведенная выше формула предназначена для нахождения среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. Если вы имеете дело с выборкой, вам понадобится немного другая формула (она приведена ниже), где вместо N используется n1. Однако цель данной статьи — объяснить вам основные принципы вычисления среднеквадратического отклонения вне зависимости от формулы, которую вы используете.
СОвыборки=|xx¯|2n1

Пошаговый разбор вычисления среднеквадратического отклонения.

В первую очередь нам понадобится набор данных. Давайте выберем не слишком большой набор, чтобы нам не пришлось иметь дело с огромным количеством точек. Вот хороший пример:
6,2,3,1

Этап 1. Находим μ из |xμ|2N

На этом этапе мы находим среднее арифметическое набора данных, которое затем обозначаем буквой μ.
Заполните пропуск.
μ=
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Этап 2. Находим |xμ|2 из |xμ|2N

На этом шаге мы находим разницу между каждым элементом из набора данных и средним арифметическим (то есть отклонение) и возводим в квадрат каждое из этих отклонений.
Например, первый элемент в наборе — 6, а среднее арифметическое — 3, значит, разница между ними равна 3. Возводим в квадрат и получаем 9.
Заполните таблицу.
Элемент xКвадрат разницы между значением переменной и средним арифметическим|xμ|2
69
2
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi
3
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi
1
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Этап 3: Находим |xμ|2 в |xμ|2N

Символ означает «сумма», то есть на этом этапе мы суммируем четыре числа, полученные на этапе 2.
Заполни пропуск.
|xμ|2=
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Этап 4. Находим |xμ|2N из |xμ|2N

На этом шаге мы делим результат, полученный из третьего этапа на N, на количество элементов в наборе.
Заполни пропуск.
|xμ|2N=
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Этап 5. Находим среднеквадратическое отклонение |xμ|2N

Почти закончили! Осталось извлечь квадратный корень из результата четвёртого этапа — и на этом всё.
Заполните пропуск.
Округлите ответ до сотых.
Среднеквадратическое отклонение =|xμ|2N
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Да! Мы это сделали! Мы успешно посчитали среднеквадратическое отклонение небольшого набора данных.

Подведём итоги

Мы разбили формулу на пять этапов:
Этап 1. Находим среднее арифметическое μ.
μ=6+2+3+14=124=3
Шаг 2: Находим квадрат расстояния от каждой точки данных до среднего арифметического |xμ|2.
x|xμ|2
6|63|2=32=9
2|23|2=12=1
3|33|2=02=0
1|13|2=22=4
Steps 3, 4, and 5:
СО=|xμ|2N=9+1+0+44=144        Суммируем квадраты расстояний (Этап 3).=3,5        Делим полученное число на количество элементов. (Этап 4).1,87        Извлечём квадратный корень (Этап 5).

Попробуйте сами

Давайте вспомним формулу:
СО=|xμ|2N
А вот набор данных:
1,4,7,2,6
Найдите среднеквадратическое отклонение этих данных.
Округлите ответ до сотых.
Среднеквадратическое отклонение=
  • Ваш ответ должен быть записан в виде
  • целое число, как 6
  • * Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • Упрощенная правильная * дробь, как 3/5
  • смешанное число, как 1 3/4
  • * точное * десятичное, как 0,75
  • кратно Пи, как 12 pi или 2/3 pi

Хотите присоединиться к обсуждению?

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.