Задачи на нормальное распределение: правило трёх сигм

давайте рассмотрим задачу из раздела нормальном распределении с сайта сетей 12 . орк это открытый и свободный учебник очень хороший и в нем есть отличные задачи и так задаче номер три средний вес годовалых девочек имеет нормальное распределение со средним значением девять с половиной килограммов и среднеквадратическое отклонение им 1,1 килограмма и так запишем среднее значение она же математическое ожидание девять с половиной килограммов а среднеквадратическое отклонение она же стандартные отклонения 1,1 килограмма без использования калькулятора это нам будет подсказкой оцените какой процент девочек удовлетворяет перечисленным ниже требованиям изобразите примерный график и заштрихуйте соответствующие области для каждого пункта нас просят оценить проценты без использования калькулятора для нас это очень важная подсказка значит скорее всего мы сможем воспользоваться правилом трех сигм сигмой обозначается среднеквадратическое отклонение иногда это правило называется правило 6890 599 и 7 если запомнить такое название этого правила считайте что вы запомнили сам управила я немного о нем расскажу прежде чем перейти к решению задачи представьте что у нас есть нормальные распределение его кривая выглядит примерно вот так это кривая симметрична и вот у нее центр математическое ожидание если сдвинуться от него на величину среднеквадратического отклонения вверх и вниз справа у нас будет . среднее плюс стандартное отклонение а слева средний минус стандартное отклонение вероятность что величина имеющие идеальные стандартные распределение попадет в этот диапазон от среднего плюс стандартные отклонения до среднего минус стандартные отклонения то есть вот в эту область равняется как вы думаете чем у 68 процентов с вероятностью 68 процентов случайная величина попадет в этот диапазон средний плюс-минус стандартные отклонения а теперь давайте отодвинемся от среднего еще на одно стандартное отклонение в обе стороны какова вероятность попасть в этот новый более широкий диапазон как вы наверное догадались 95 процентов это весь вот этот диапазон включая предыдущий то есть первые 68 процентов тоже попадают в эти 95 я думаю что вы догадываетесь что дальше если сдвинутся на три стандартных отклонения вверх и вниз от среднего то согласно правилу 6890 599 и 7 вероятность попасть в этот диапазон будет равна 99 целом и семидесятым процентам с такой вероятностью нашей величина попадет в диапазон от трех стандартных отклонений ниже среднего до трех стандартных отклонений выше среднего вот что означает правило трех сигм а теперь давайте им воспользуемся в нашей задаче нам дано среднее и да на стандартное отклонение давайте это изобразим это у нас ось x теперь изобразим кривую в виде колокола эта кривая симметрична справа и слева она ведет себя одинаково и так вот средние 9,5 единицы измерения у нас килограммы чтобы сдвинуться на одно среднеквадратическое отклонение вверх нужно прибавить к среднему одну целую одну десятую килограмма мы получим вот такую точку 10,6 чтобы сдвинуться на одно среднеквадратическое отклонение вниз нужно вычесть одну целую одну десятую из 9,5 получится . восемь целых четыре десятых килограмма чтобы сдвинуться вверх на 2 стандартных отклонения нужно прибавить еще одно стандартное отклонение на одно вверх потом на еще одной вверх получится . 11,7 чтобы сдвинуться на три стандартных отклонения от среднего прибавим еще одну целую одну десятую получим 12,8 теперь в другую сторону на одно отклонение вниз это 8,4 на 2 отклонения вниз вычитаем еще одну целую одну десятую получаем 7,3 чтобы получить точку на три стандартных отклонения меньше среднего снова вычтем одну целую одну десятую получим шесть целых две десятых килограмма вот мы нашли ключевые точки для этой задачи а теперь первый вопрос какова вероятность что первая попавшаяся годовалая девочка будет весить меньше 8,4 килограмма давайте посмотрим на схему все девочки с массой менее 8,4 килограмма попадают вот в этот промежуток правильно говорить масса они вес вес этой сила она измеряется в ньютонах но в разговорной речи массу и вес понимают как синонимы и так как найти площадь вот этой фигуры при помощи правило трех сигм мы знаем площадь вот этой фигуры от -1 стандартного отклонения до плюс 1 стандартного отклонения мы знаем что это площадь 68 процентов а значит что все остальное что не попала в этот диапазон это 32 процента потому что площадь под всей кривой нормального распределения равна единице или 100 процентам потому что сумму всех возможных исходов должна быть равна единице то есть 100 процентам а значит вот эта часть слева плюс вот эта часть справа это сто процентов минус площадь центральной части минус 68 процентов и получается 32 процента сумма вот этих двух хвостов справа и слева равна тридцати двум процентам задачи дано что распределение нормальные то есть мы считаем что кривая идеально и симметрично правая сторона плюс левая сторона это 32 процента но поскольку кривая симметрична значит площади этих хвостов равны то есть площадь вот этого правого хвоста который я заштриховываю равна половине от 32 то есть 16 процентов а значит и площадь левого хвоста будет также 16 процентов эта вероятность оказаться ниже среднеквадратического отклонения чему равна вероятность что случайно взятая годовалая девочка будет весить меньше 8,4 килограмма на графике это будет вот этот диапазон его площадь 16 процентов значит ответ на первый вопрос 16 процентов вопрос 2 между 7,3 и 11,7 килограмма 7,3 это вот эта точка на два стандартных отклонения меньше среднего 11,7 эта точка на два стандартных отклонения больше среднего то есть нас по сути спрашивают какова вероятность попасть в пределы среднего плюс-минус 2 стандартных отклонения вот у нас среднее вот . на два стандартных отклонения ниже среднего а вот . на два стандартных отклонения выше среднего ответ очевиден его прямо дает правило трех сигм вероятность попасть во второй диапазон то есть в пределы плюс-минус 2 среднеквадратическое отклонение от среднего 95 процентов и наконец третий вопрос вероятность что масса годовалой девочки окажется больше 12,8 килограмма 12,8 это на три стандартных отклонения больше среднего то есть нас интересует вероятность попасть в диапазон больше трех стандартных отклонения от среднего это вот эта площадь которую я заштриховываю зеленым цветом это вот эта маленькая но длинная фигура чему равна эта вероятность обратимся к правилу трех сигм мы знаем вот эту площадь от среднего минус 3 стандартных отклонения до среднего плюс три стандартных отклонения это у нас последний вопрос поэтому я могу заштриховать все мы знаем вот эту площадь средний плюс минус 3 стандартных отклонения это у нас 99 целых семь десятых процента в этом промежутке лежат почти все результаты чуть меньше 100 процентов что остается на эти два хвоста обратите внимание у нас два хвоста один больше среднего плюс 3 сигмы 2 меньше среднего -3 сигмы на эти два хвоста меньше среднего -3 сигмы и больше среднего плюс 3 сигмы приходится все оставшиеся от 100 процентов то есть всего три десятых процента кривая у нас симметрично значит эти два хвоста равны то есть один правый хвост будет половины от 3 десятых то есть 15 сотых процента и левый хвост тоже 15 сотых процента таким образом вероятность что годовалая девочка будет весить больше 12,8 килограмма при условии нормального распределения будет равна вот этой площади больше трех стандартных отклонения от среднего то есть 15 сотых процента спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить