If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Формула для числа сочетаний.

Выводим формулу для количества способов выбрать подмножества из k элементов из множества, содержащего n элементы.

Транскрипция к видео

когда вы впервые сталкиваетесь с сочетаниями размещениями все может показаться сложным и запутанным поэтому чем больше примеров на эту тему мы рассмотрим тем лучше и с каждым примером я буду резюмировать все рассказанные ранее и каждый раз добавлять что то новое и так давайте рассмотрим ещё один пример он будет снова на ту же тему я обещают дальше придумывать другие налоги помимо рассадки людей по стульям но пока рассмотрим наш старый пример итак у нас снова 6 человек их зовут a b c d e и f и мы рассаживаем их по четырем стульям один два три четыре мы много раз разбирали этот пример сколькими способами можно выбрать и рассадить по стульям четырех человек и 6 если мы будем сажать их на стуле по порядку тогда на первый стул можно посадить любого и 6 человек в каждом из этих шести вариантов для 2 стула останется выбор из пяти человек потому что один уже сидит на первом стуле в каждом из этих 30 вариантов рассадки людей по первым двум стульям для третьего стула останется выбор из четырех человек и в каждом из этих ста двадцати вариантов последний стул можно будет занять одним из трех способов выбрав одного из оставшихся троих человек 6 умножить на 5 умножить на 4 умножить на 3 это количество размещений и в одном из предыдущих видео мы вывели формулу для размещений это у нас будет шесть факториал то есть 6 умножить на 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 и умножить на 1 но 2 умножить на 1 у нас лишние от этого нужно избавиться а что такое 2 умножить на 1 это 2 факториал откуда он берется нам нужны только первые четыре множители от факториала 6 у нас 4 стула поэтому 4 множителя а два оставшиеся нам не нужны 2 это 6 минус 4 это количество последних множителей которые мы хотим отбросить в нашем случае это два последних множителя 6 минус 4 факториал это будет 2 факториал то есть 2 умножить на 1 эти множители как мы хотели сокращаются и остается то что нам и нужно здесь мы работаем с конкретными числами но в общем случае формула подсчета размещений работает точно также если кто-то хочет почитать сколькими способами можно выбрать к элементов из множества n элементов и разместить их по к позициям это можно сделать по формуле n факториал разделить на n минус k факториал именно этим мы здесь и проделали у нас n равнялась 6 а к четырем давайте я обведу переменные соответствующими цветами чтобы вы увидели параллель так мы обобщили то что уже изучали ранее а теперь мы перейдем к сочетанием в размещениях играет роль порядок рассадки на стульях кто на каком стуле сидит я рассказывал об этом на вводном уроке о термине сочетания в размещениях a b c d & d a b c это разные выборки и то и другое учитывается формуле как отдельные размещения чему это кстати равно 30 умножить на 12 это 360 таким образом вот это одно размещение вот это второе размещение и здесь мы продолжим их выписывать мы выпишем ровно триста шестьдесят штук но если мы считаем сочетание там все иначе скажем мы хотим посчитать количество сочетаний из n по k сколько всего их будет у нас есть набор из n элементов и мы хотим выбрать из них к элементов выбрать сочетание длиной к тогда эти две выборки будут считаться одним и тем же сочетанием и чтобы посчитать сколько их будет нужно взять количеству размещений то есть n факториал разделить на n минус k факториал и разделить это число на количество способов рассаде четырех человек по стульям я помню когда я впервые изучал эту тему мне это все было не совсем очевидно но потом я разобралась и все поняла поначалу все это может показаться немного запутанным но надеюсь с нашими уроками вы тоже сможете во всем быстро разобраться на самом деле мы считаем количество размещений и делим на количество способов рассадить одних и тех же людей по четырем стульям потому что повторюсь в размещениях разные рассадки по стульям считаются отдельно а нам сейчас не нужны разные рассадки по стульям нам нужно посчитать их все за одно сочетание поэтому мы делим количество размещений на количество перестановок четырех человек на 4 стульях а в случае общей формулы на количество перестановок иска элементов давайте рассмотрим отдельно сколькими способами можно переставить к элементов то есть разместить к предметов по к местам попробуйте нажать на паузу и посчитать самостоятельно потому что мы уже считали это в первом видео посвященном размещением и так вот у нас k мест это первое место вот второе третье и так далее да котова первое место мы можем заполнить к разными способами у нас к предметов каждый из которых мы можем поместить сюда для каждого из этих вариантов сколькими способами можно занять второе место к минус одним потому что один предмет уже лежит на первом месте аналогично на третьем месте к минус 2 и так далее до последнего места на который останется один последний элемент что это такое k умножить на k минус 1 умножить на х минус 2 и так далее до единицы а это у нас k факториал количество способов разместить к предметов по к местам или просто количество перестановок иска элементов равно факториалу к количество перестановок из 4 людей на 4 стульях это 4 факториал количество перестановок из трех вещей на трех местах 3 факториал то есть осталось разделить это всё на k факториал и получится дрот у которой в числителе n факториал от знаменателя k факториал умножить на n минус k факториал и вот мы с вами вывели формулу количество сочетаний иногда ее называют биномиальным коэффициентом и записывают вот так а теперь давайте вернемся к нашему примеру в нашем примере мы видели что выбрать 4 человека и 6 и рассадить их по четырем стульям можно тремястами 60 способами но что если нам не важен порядок их рассадки что если нам нужно посчитать количество способов просто отобрать группу из четырех человек среди шести человек это равно количеству сочетаний из шести по 4 иными словами мы и 6 человек выбираем группы по четыре человека и считаем их количество я сейчас начала применю формулу а потом поясню свои действия и в очередной раз повторю я не большой поклонник этой формулы и никогда ее не запоминаю каждый раз когда нам не требуется я по сути вывожу ее заново бездумная зубрежка это прямой путь к непониманию сути происходящего но сейчас давайте сначала выпишем формулу в числителе 6 факториал а в знаменателе 4 факториал умножить на 6 минус 4 факториал вот у нас формуле откуда берется 6 минус 4 факториал хотела сразу сократить запись но не буду чтобы не запутать вас так и выпишу 6 минус 4 факториал и это равняется 6 факториал разделить на 4 факториал и на 2 факториал теперь давайте распишем факториалы в числителе 6 умножить на 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 в знаменателе 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 и 2 умножить на 12 умножить на 1 сокращается единица ни на что не влияет и ее можно вычеркнуть эта тройка и эта тройка сокращаются четверки тоже сокращаются 6 разделить на 2 это 3 и осталось только 3 умножить на 5 таким образом получилось 15 сочетаний есть 360 размещений то есть способов рассадить четырех человек и 6 по четырем стульям но всего 15 сочетаний мы перестали учитывать разные рассадки одних и тех же людей по четырем стульям раз люди одни и те же мы считаем это одним сочетанием поэтому делим на количество вариантов рассадки 4-х человек по четырем стульям сколькими способами это можно сделать 4 факториал вот у нас это число это 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 то есть 24 по сути мы взяли 360 разделили на 24 и получили 15 и опять же я не устану повторять важно понимать откуда это все берется то значение которое я обвожу это количество размещений это 6 умножить на 5 умножить на 4 умножить на 3 мы подробно рассмотрели это в самом начале и затем мы делим это на количество способов рассадить четырех человек по четырем в туле спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить