Сочетания и рукопожатия

представьте что в некой комнате находится четыре человека им зовем их латинскими буквами a b c и d и кто-то говорит им вы друг с другом незнакомы так перри знакомьте же для этого строго по одному разу пожмите руку каждому человеку в этой комнате и мой вопрос такой если каждый из этих четырех человек пожмет руку каждому другому человеку ровно один раз сколько всего будет рукопожатий и как обычно я советую вам нажать на паузу и подумать самостоятельно допустим вы попробовали размышлять можно следующим образом в рукопожатии участвуют двое мы рассматриваем вариант только традиционного двустороннего рукопожатия первой стороной в рукопожатии может стать любой из четырех человек и мы опять же не рассматриваем случаев когда кто-то жмет руку сам себе мы считаем что в рукопожатии участвуют двое и для каждого способа выбрать первую сторону рукопожатие есть три варианта выбрать вторую сторону рукопожатия поэтому можно сказать что рукопожатий четырежды три таким образом получается что пару для рукопожатия можно отобрать двенадцатью разными способами и тут я рекомендую вам подумать так ли это будет ли в действительности рукопожатий 12 дело в том что четырежды три это количество размещений это количество способов отобрать для рукопожатия двух человек из 4 если нам важен порядок в которым они стоят кто стоит справа а кто слева кто из них 1 а кто второй в таком случае мы различаем вариант в котором а слева а справа и вариант в котором б слева а справа но это нас не волнует мы не хотим чтобы а и b жали друг другу руки потом менялись местами и жали друг другу руки еще раз они должны сделать это всего один раз то есть такие два варианта мы должны учитывать как один нам нет смысла различать их поэтому в действительности нам нужно посчитать сочетание вот у нас есть набор из 4 человек сколькими способами можно отобрать двоих из них каждое рукопожатие это по сути выборка двух человек из четырех таким образом вопрос рукопожатий сводится к вопросу выбора двух человек из четырех и каждая выборка каждое сочетание должно отличаться только составом если в нем одни и те же люди но в разном порядке например а b&b а такие сочетания должны считаться заодно и задача рукопожатиях свелась к задаче о сочетаниях нас по сути спрашивают сколько бывает сочетание из четырех человек по 2 человека для этого сначала надо посчитать количество упорядоченных размещений из 4 по 2 это равняется четырежды три это мы с вами уже посчитали это равно 12 давайте запишу жёлтым цветом чтобы было ясно откуда это взялось четырежды три и это количество мы делим на количество способов упорядочить двух человек двух человек можно упорядочить двумя способами 1 справа другой слева и наоборот или строго говоря 2 факториал что в любом случае равно двум а значит знаменателе будет 2 и это количество способов упорядочить двух человек а вот это выражение в числителе это размещение это количество размещений из четырех человек по двум позициям здесь при подсчете учитывается порядок можно понимать это так что двойка в знаменателе как бы исправляет двойной учет от перестановки пожимающих руки людей я получила это число методом логических рассуждений но если вам хочется применить форму вам пожалуйста можно рассуждать как я четырежды 312 но здесь варианты учтены дважды потому что двух человек можно упорядочить двумя способами значит надо разделить на 2 и тогда получится 6 можно рассуждать терминами а можно просто применить формулу количество сочетаний из 4 по 2 равняется 4 факториал разделить на 2 факториал и на 4 минус 2 факториал подведу двойки другим цветом чтобы вы понимали что откуда берется чему это будет равно в числителе получается 4 умножить на 3 над 2 на 1 от знаменателя 2 умножить на 1 умножить на вот это выражение это тоже 2 умножить на 1 это сократится 4 разделить на 2 это 2 2 умножить на 3 и разделить на 1 это 6 и чтобы совсем закрыть тему давайте выпишем все возможные 12 вариантов а пожимает руку b и жмет руку c нажмет руку д дальше мы жмет руку а б же мед руку c и b жмет руку д затем c жмет руку а цель мед руку b&c жмет руку d и наконец д жмет руку а дожмет руку б д жмет руку c вот перед нами 12 размещений если бы для нас играла роль д жмет руку c и лице жмет руку д мы бы посчитали все 12 но в нашей задаче каждый должен встретиться с каждым строго по разу получается мы всех посчитали дважды а.б. это все равно что б а а це все равно что caa2 все равно что d a b c все равно что c ббд все равно что db cd все равно что dc и что у нас остается если мы исправим двойной учет остаются так 123 6 вариантов 6 сочетаний и у нас получается 6 различных способов выбрать двоих человек из четырех при условии что порядок выборки нас не интересует спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить