If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Подсчёт количества вариантов раздачи карт

В этом видео мы рассматриваем некую карточную игру и посчитаем, сколькими способами можно раздать карты на руку одному из игроков. Создатели: Сэл Хан и Монтеррейский институт технологий и высшего образования.

Транскрипция к видео

в некой карточной игре используется колода из 36 карт 4 масти бубны и черви трефы и пики в каждой масти по 9 карт достоинством от одного до девяти в начале игры игроку сдаются 9 карт порядок которых не имеет значения сколько всего существующих вариантов начальные раздачи для одного игрока давайте подумаем в колоде 36 не повторяющихся карт по 9 карт в каждой из четырех мастей четырежды 936 но для простоты давайте пронумеруем все карты от 1 до 36 и выберем из них 9 представим что в руке игрока 9 свободных мест для раздаваемых карт 1 2 3 4 5 6 7 8 9 то есть мне раздадут в руку 9 карт сколько возможных карт может оказаться у меня на первом месте всего карт 36 каждый может попасть сюда значит 36 вариантов одна карта на руке есть теперь сколько способов получить вторую карту одну карту я уже взяла значит на второе место может попасть любая из 35 на 3 34 и так далее 33 3231 3029 и 28 хочется сказать что количество вариантов равно 36 умножить на 35 умножить на 34 и так далее до 28 это было бы так если бы в игре был важен порядок карт в руке это было бы верно если бы первой картой например у меня было бы девятка пик за ней еще какие-то карты вот это был бы первый дрок подрисую остальные места один два три четыре пять шесть семь восемь других карт а в другом случае у меня были бы те же 8 карт один два три четыре пять шесть семь восемь и уже после них девятка пик если бы эти два варианты раздачи считались и разными где те же самые карты лежат в другом порядке тогда мои вычисления были бы верн и потому что в них учтен порядок но нам задача говорят что порядок карт в руке не имеет значения и чтобы получилось количество раздач без учета порядка карт нужно разделить это число на количество способов упорядочить в руке 9 карт то есть это все нужно разделить на количество перестановок из 9 карт сколькими способами можно упорядочить 9 карт если у меня есть 9 карт и я одну из них выбираю на первое место то у меня получается 9 способов заполнить это место тогда для второго места остается 8 вариантов потому что одна из карт уже стоит на первом месте затем семь шесть пять четыре три два и один на последнее место останется всего одна последняя карта такое произведение 9 умножить на 8 умножить на 7 и так далее до единицы то есть мы взяли число 9 и умножили его на все натуральные числа меньше 9 и такое произведение называется 9 факториал факториал обозначается восклицательным знаком таким образом чтобы получить количество возможных раздач карт без учета порядка нужно взять количество вариантов раздачи с учетом порядка и разделить на количество вариантов расположения каждого набора карт в руке и это и будет ответом на нашу задачу судя по всему это очень очень очень большое число попробуем выяснить насколько оно большое 36 умножаем на 35 на 34 на 33 на 32 на 31 на 30 на 29 и на 28 и всё это разделить на 9 хотя сделаю так поставлю скобки разделить на скобках 9 умножить на 8 умножить на 7 на 6 на 5 на 4 на 3 над 2 и на 1 и вот что получилось 94 миллиона 143 тысячи двести восемьдесят это и будет ответом на нашу задачу количество возможных вариантов начальной раздачи 94 миллиона 143 тысячи двести восемьдесят мы вышли на этот ответ логическими рассуждениями но есть формула которая по сути делает все то же самое как это формула применяется у нас есть 36 объектов и мы хотим выбрать девять из них при этом порядок объектов выборки нам не важен в общем виде такая запись выглядит как сочетание из n по k и так из 36 объектов мы выбираем 9 значит в числителе у нас будет 36 факториал но 36 факториал продолжается и дальше там будет 27 2625 и так далее а нам нужны только девять первых множителей так что вот эта часть то что здесь в числителе это не просто 36 факториал и это 36 факториал разделить на 36 минус 9 факториал что такое 36 минус 9 это 20 что такое 27 факториал 36 факториал это произведение 36 на 35 и так далее где-то будет 28 27 и дальше до единицы это 36 факториал а чему равно 36 минус 9 факториал это 27 факториал это 27 умножить на 26 и так далее до единицы обратите внимание что в числителе и знаменателе встречается одно и то же произведение чисел от единицы до 27 а значит это все сократится поэтому если мы 36 факториал разделим на 27 факториал у нас останутся только 9 старших множителей от факториала 36 как раз то что нам нужно и дальше это все делится на девять факториал что мы здесь посчитали называется число сочетаний с 36 по 9 в общем виде эта формула записывается так число сочетаний из n по k равняется n факториал разделить на n минус k факториал и на k факториал и это общая формула если у вас есть n объектов и вы хотите посчитать количество разных способов выбрать из них к объектов при этом вам не важен порядок спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить