Формула для числа размещений

представим что у нас есть пять человек обозначим их латинскими буквами a b c d и е и мы хотим и расставить их по 5 разным местам скажем рассадить по 5-ти стульям стул первый стул второй стул третий стул 4 и стул 5 далее мы хотим узнать сколькими способами можно рассадить 5 человек по 5-ти стульям сколько можно сделать размещений из пяти элементов на пяти местах и так мы рассаживаем людей по порядку тогда на первый стул мы можем посадить любого из пяти человек и кого бы мы ни выбрали для первого стула при любом из пяти вариантов на 2 ст у мы сможем посадить любого из оставшихся четырех человек и для первых двух стульев у нас получается 20 разных вариантов 5 умножить на 4 и для каждого из этих 20 вариантов сколько человек можно усадить на третий стул в каждом случае останутся три человека то есть в каждом из 20 случаев на третий стул мы сможем усадить кого-то из трех оставшихся человек и теперь у нас уже 5 умножить на 4 умножить на 3 варианты рассадки людей на первые три стула сколько человек осталось для 4 для каждого из этих вариантов людей кто еще не сел на стул останется двое значит еще два варианта получается что возможностей рассадить людей по первым четырем стульям пять на четыре на три на два и для каждой из них сколько возможностей занять последний стул в каждом из этих случаев у нас останется один человек которого еще не посадили на стул то есть останется всего один вариант его посадки таким образом число возможных размещений 5 человек по 5 позициям будет равняться факториалу 5 факториал это 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 чему это равно 20 умножить на 6 это 120 а теперь давайте попробуем кое-что поинтереснее хотя вам может это покажется и не так интересно давайте теперь представим что у нас по прежнему 5 человек а вот стульев меньше теперь у нас не каждый сможет найти себе места пусть у нас теперь всего три стула стул первый стул 2 и стул 3 сколькими способами можно выбрать и рассадить трех человек по этим трем стульям я советую вам нажать на паузу и подумать самостоятельно будем считать что вы подумали давайте рассуждать по той же логике будем рассаживать людей по порядку когда все стоят сколькими способами мы можем выбрать человека чтобы занять стул номер один мы можем выбрать и посадить на первый стул любого из 5 а теперь для любого из этих пяти случаев сколькими способами мы можем занять второй стул и в каждом случае один человек уже сидит четверо пока стоят значит на второй стул можно выбрать любого из четверых стоящих получается что усадить людей на первые два стула можно 5 умножить на 4 20 у способами и для каждого из 20 способов сколько вариантов занять последний третий стул в каждом случае останутся стоять еще трое и мы можем взять любого из них то есть для каждого из 20 вариантов третий стул мы можем занять тремя способами получается 5 умножить на 4 умножить на 3 варианта и это равняется 60 60 способов разместить пять человек на три стула когда я сталкиваюсь размещениями я стараюсь рассуждать именно так как показала вам сейчас я не люблю формулы я люблю представлять наглядно что происходит задача но когда мы рассаживали 5 человек по 5 стульям у нас получился факториал 5 факториал это такая удобная функция как можно при помощи факториала записать то что мы проделали во втором случае мы начали рассуждать точно также как будто считаем факториал но в какой-то момент остановились и не стали умножать на 2 и на 1 это что мы сделали можно по сути записать вот так 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 но ум нажать на 2 и на 1 мы не стали поэтому можно разделить это все на 2 умноженное на 1 и тогда 2 умножить на 1 сократится и останется как раз пять на четыре на три зачем я так написал а затем чтобы применить факториалы это можно записать как 5 факториал разделить на 2 факториал и вы спросите откуда здесь взялась двойка смотрите я умножила пять на четыре на три то есть раса дела людей по имеющимся стульям и не стал и рассаживать оставшихся то есть вот эта часть на которой я остановилась это оставшийся стоять люди то есть количество людей минус количество стульев мы расставляем пять элементов по трем позициям пять минус три остается как раз два поэтому эту формулу можно переписать так 5 факториал разделить на пять минус три а это как раз и есть 2 факториал а теперь давайте обобщим эту формулу на любое количество элементов и мест если мы хотим рассадить and человек пока стульям это называется размещениями из n элементов по k мест и количество таких размещений это n факториал деленный на n минус k факториал в нашем примере n было равно 5 к 3 5 минус 3 это 2 такая формула часто встречается в комбинаторики и теории вероятностей кто-то эту формулу запоминает хотя она выглядит достаточно сложной но я вам ее показала только для того чтобы связать этот видеоролик с вашими учебниками или лекциями чтобы вы увидев эту формулу не думали что это какая-то черная магия но самая никогда этой формулой не пользуясь я всегда представляю себе процесс рассадки если формулу бездумно запомнить потом приходится вспоминать куда она применяется что такое н что такое к но если наглядно представить процесс рассадки людей ничего запоминать и зубрить не придется достаточно применить логику и это очень важно потому что как мы увидим впоследствии не каждый случай будет так красиво укладываться в описанную схему иногда появляются дополнительные условия например человек б должен обязательно занять одно из трех кресел или у него есть любимые кресла и тогда эта формула становится бесполезной спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить