Пример: комбинаторика и вероятность

в некой карточной игре используется колода из 36 карт 4 масти бубной черви трефы и пики в каждой масти по 9 карт достоинством от одного до девяти в начале игры игроку сдаются 9 карт порядок которых не имеет значения какова вероятность получить все четыре шестерки и так нас просят найти вероятность получить при раздаче все четыре шестерки поначалу задача может показаться сложный и пугающий у нас 9 карт на руке нас спрашивают вероятность получить четыре шестерки как это все считать но вопрос можно свести к очень простым термином вероятность это отношение количества нужных нам исходов общему количеству равна возможных исходов согласно определению вероятности в числителе будет количество исходов удовлетворяющих условию то есть количество вариантов сдать карты так что на руки окажутся все четыре шестерки и это нужно разделить на количество всех различных исходов множество всех различных исходов случайного эксперимента называют пространством элементарных событий то есть мы делим на количество всех возможных вариантов сдать карты на руку в начале игры таким образом в числителе голубым цветом количество вариантов сдачи карт с четырьмя шестерками на руке от знаменателя количество всех возможных вариантов сдачи 9 карт на одну руку давайте сначала посчитаем общее количество исходов потому что это наверное проще и понятнее мы уже считали это в одном из прошлых видео итак мы выбираем 9 карт из 36 различных карт мы много раз уже проводили подобные расчеты давайте напишу общее количество вариантов сдачи 9 карт чему это равняется нам нужно получить 9 карт первую карту можно раздать тридцатью шестью способами взять любой из 36 карт для следующей карты останется 35 вариантов затем 3433 3231 и так далее 9 1 6 мы выписали осталось еще три 3029 и 28 это общее количество вариантов если бы порядок имел значения но в условии говорится что порядок не важен нас интересует только какие именно карты попали в сдачу поэтому мы учли много лишних вариантов для каждого варианта сдача мы посчитали все возможности переставить карты в руки в разном порядке но нас не интересует скажем вы дали нам туз бубен первой картой или последний а я сейчас посчитала эти варианты как две разные раздачи но для нас это будет одна и та же раздача поэтому все это нужно разделить на количество перестановок 9 объектов на первое место можно поставить любой из 9 объектов на 2 останется 8 на 3 7 и так далее в знаменателе получается 9 факториал мы с таким уже сталкивались неоднократно это количество сочетаний из 36 по 9 давайте свяжем то что мы сейчас посчитали с известными вам уже формулами из комбинаторики это то же самое что 36 факториал разделить на 36 минус 9 факториал это вот эта красная часть и делим ее на 9 факториал желтая часть соответствует тому что записаны желтым цветом а красная красным итак это общее количество вариантов раздачи а теперь чуть более хитрые задача как посчитать количество исходов в которых произойдет нужные нам события то есть получение всех четырех шестерок давайте узнаем запишем количество раздачи с четырьмя шестерками сначала проведем мысленный эксперимент представьте что мы получаем всего четыре карты если бы в начале игры раздавались только четыре карты то нужные нам события происходило бы в одном единственном случае был бы только один вариант получить четыре шестерки когда все карты на руках шестерки но в нашем случае мы отбираем не четыре карты а 9 и 4 из них будут шестерками 4 место в раздаче уже заняты шестерками одно второе третье четвертое но остальные пять карт могут различаться у нас еще пять свободных мест одно второе третье четвертое пятое и теперь представьте что мы получили четыре шестерки и получаем пятую карту четыре карты из 36 уже задействованы мы их получили а значит у нас есть тридцать два возможных варианта получить на руки пятую карту для 6 карт и тридцать один вариант для 7 30 для каждой позиции остается на одну карту меньше она используется для предыдущей позиции дальше будет двадцать девять вариантов и 28 вариантов так же как и в прошлом случае порядок карт на руке нас не волнует нам неважно придет ли питер p3 первый или последний мы должны посчитать оба эти случая за один вариант поэтому мы разделим это число на количество способов переставить 5 карт на руке полученные нами количество способов нужно разделить на количество перестановок вот этих пяти карт чему это равно на первом месте будет любая из 5 карт на втором любая из оставшихся четырех затем из трех из двух и одна последняя таким образом количество раздач с четырьмя шестерками равно вот этому числу то есть количеству способов сдать оставшиеся пять карт четыре карты нам уже даны их можно получить только одним способом а вот количество способов получить оставшиеся пять карт это и есть количество всех возможных раздач 9 карт с 4 мя шестерками все эти раздачи будут различаться только оставшимися пятью картами и я специально не стала перемножать эти числа потому что сейчас у нас много и сократится итак берем второе число и делим на 1 берем второе выражение копируем и вставляем и теперь мы делим это на первое выражение но деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь поэтому давайте умножим на обратную дробь знаменателе у нас теперь окажется в числителе теперь точно так же скопируем числитель и принесем его в знаменатель умножение вот на такую дробь равносильно делению на изначальное выражение и теперь мы можем легко это выражение упростить и так у нас получилось в знаменателе есть 5 умножить на 4 умножить на 3 умножить на 2 умножить на 1 а значит вот это выражение и вот это выражение сократятся еще у нас есть в числителе 32 умножить на 31 умножить на 30 умножить на 29 умножить на 28 это выражение сократится с вот этой частью и остается вот эта часть давайте я ее перепишу в числителе остается 9 умножить на 8 умножить на 7 умножить на 6 а в знаменателе 36 умножить на 35 умножить на 3 4 умножить на 33 если разделить числитель и знаменатель на 9 в числителе получится 1 а в знаменателе 4 снова можно разделить на четыре тогда здесь будет 2 а здесь один разделим числитель и знаменатель на 7 тогда в числителе останется один в знаменателе 5 дальше делим еще на 2 здесь остается один а здесь 17 6 33 можно разделить на три здесь останется 2 а здесь 11 и что у нас осталось вероятность того что в раздаче из 9 карт окажется четыре шестерки равна в числителе осталось двойка от знаменателя 5 умножить на 17 умножить на 11 чему это равно не простая получилось задачка 5 умножить на 17 умножить на 11 это 935 получилось 2 935 около 2000 ных то есть грубо говоря среднем в одном случае с 500 на руке после раздачи 9 карт вы получите четыре шестерки спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить