Сложная задача по тригонометрии: площадь треугольника

треугольник a b c прямоугольник в котором акции равно 7 bc и равно 24 а угол c прямой давайте начертим этот треугольник и отметим у него прямой угол возможно нам понадобятся координаты поэтому построим треугольник так что вершины прямого угла окажется в начале координат и это у нас будет . c длина катета акции равна 7 значит вот эта точка будет а а длина вот этого отрезка равна 7 вот это гипотенуза нашего треугольника самом верху у нас точка б а длина катета bc нам тоже дана она равна 24 продолжим . m9 отрезок обэп пополам вот здесь у нас будет . м она делит гипотенузу абэ на 2 равные части следовательно а m равно mb . да и лежит с той же стороны от прямой абэ что и точка c . c лежит ливии и ниже прямой а.б. далее а д равно бды равно 15 таким образом . d будет лежать где-то вот здесь на одинаковом расстоянии от точек а и b кстати все точки расстояний от которых до точек а и b равно будут лежать на вот такой прямой проходящей через точку м и перпендикулярной а.б. итак . d находится вот здесь на расстоянии 15 единиц от точек а и b то есть длина отрезка б д равна 15 и длина отрезка а d тоже равна 15 площадь треугольника cdm вот у нас точка d а вот треугольник cdm и так площадь треугольника cdm можно выразить как m умножить на корень из n и разделить на t где m n o p натуральные числа m&p взаимно простые это значит что данное выражение нельзя упростить а среди делителей числа n нет квадратов простых чисел следовательно квадратный корень также нельзя упростить найдите m + n + p по сути нам первым же делом нужно найти площадь вот этого зеленого треугольника cdm давайте подумаем как это сделать попробуем определить координаты данных нам точек x координаты точки а равна 7 давайте я начерчу оси координат чтобы вам было понятно откуда это берется вот и это у меня ось x а второй катет лежит на оси y тогда координаты точки а 70 координаты точки c00 а координаты точки б 024 координаты точки м будут считаться как среднеарифметическая координат точек b и а среднее арифметическое 0 и 7 это 7 вторых а y-координата это среднее арифметическое 24 и 0 это 12 теперь давайте подумаем что мы знаем о сторонах этого треугольника треугольник у нас прямоугольник поэтому первым же делом хочется воспользоваться теоремой пифагора длины катетов нам известны можем вычислить длину гипотенузы а б-24 в квадрате плюс 7 в квадрате равно а b в квадрате 24 в квадрате это 576 плюс 49 равно а b в квадрате чему равно 576 плюс 49 прибавим 50 получим 626 но у нас на единицу меньше то есть 625 таким образом 625 равно а b в квадрате отсюда а b равно 25 это у нас длина гипотенузы а половина гипотенузы отрезок от b до m равен 25 вторым отрезок м а также будет равен 25 вторым кроме того мы знаем что треугольник c м.а. равнобедренный откуда мы это узнали взглянем на x координату точки м она лежит ровно посередине между ix координатами точек c и а7 вторых это половина между семью и нулем то есть x координаты точки м лежит ровно по центру основания треугольника cm а следовательно этот треугольник симметричен мы можем отразить его относительной высоты а значит его боковые стороны равны и это важно потому что cm это одна из сторон того треугольника который нас интересует можно считать ее основанием треугольника cdm и длина стороны cm также равна 25 вторым треугольник cm а равнобедренный в нем cm равно а.м. поскольку он симметричен относительно высоты опущены из точки м итак мы знаем одну сторону треугольника cdm давайте попробуем выяснить длину стороны д.м. кажется что она должна легко находиться потому что треугольник бдм прямоугольник поскольку отрезок dm перпендикулярен отрезку а.б. все точки равноудалены от точек а и в будут лежать на перпендикуляре к отрезку обэп проходящему через точку м следовательно бдм прямоугольный треугольник и мы можем вычислить длину катета д.м. по теореме пифагора запишем 25 вторых в квадрате плюс d m в квадрате равно 15 в квадрате 15 это длина гипотенузы треугольника бдм таким образом все это равно двумстам 25 что получается d m в квадрате равно двумстам 25 минус 625 разделить на четыре приведем дроби к общему знаменателю 225 это 904 и вычтем из этого 625 четвертых чему это равно в числителе у нас 900 минус 625 этот 300 минус 25 то есть двести семьдесят пять четвертых следовательно d m равно корню квадратному из этого числа из 275 четвертых 275 это 25 умножить на 11 потому что 25 умножить на 12 это 300 получается 25 умножить на 11 и разделить на 4 и это все равно 5 корням из 11 разделить на два и так длина отрезка д м 5 корней из 11 на 2 наша задача теперь найти высоту этого треугольника если мы найдем его высоту задачи будет почти решена площадь треугольника равна половине произведения высоты на основании но как ее найти возможно нам поможет тригонометрия если бы мы как-то нашли синус вот этого угла он был бы равен отношению искомой высоты к стороне д.м. если нам удастся найти синус этого угла мы были бы очень близки к решению задачи однако кажется что простого способа нет но давайте взглянем на больший треугольник bmc мы знаем что сторона mc равна 25 вторым мы знаем что б м тоже 25 вторых мы знаем третью сторону она равна 24 мы с вами хотим найти синус вот этого угла обозначу его тета это угол цмд как это сделать пока непонятно но мы можем применить теорему косинусов для угла тета плюс 90 давайте я все-таки на черчу отдельно этот треугольник bc м он у нас равнобедренный его вершины bc и м а чему равен вот этот угол он равен углу тета который нас интересует плюс 90 градусов то есть вот этот угол это тета плюс 90 градусов сторона b c 24 б м 25 вторых mc тоже 25 вторых теперь мы можем применить теорему косинусов чтобы в итоге найти значение тетта теорема косинусов гласит квадрат длины противолежащей стороны то есть двадцать четыре в квадрате равно 25 вторых в квадрате плюс еще 25 вторых в квадрате минус 2 умножить на 25 вторых умножить на 25 вторых умножить на косинус вот этого угла тета плюс 90 градусов и тут вы можете возразить тут же косинус тета плюс 90 градусов а нам нужно найти синус тета который нам нужен для нахождения площади треугольника cdm точнее для нахождения его высоты и тут мы должны вспомнить одну вещь мы знаем тригонометрическое тождество которое гласит что косинус не буду использовать это чтобы у вас не путать косинус икс равен синусу 90 минус x следовательно косинус тета плюс 90 градусов равняется синусу возьму это выражение в скобки 90 минус вот это выражение под косинусом то есть минус тета me 90 число 90 сокращается и остается синус минус тета и мы знаем что синус - это равно минус синус от это значит все вот это выражение сократилось до минус синуса тета заменим его на синус тета а минус вынесем вперед минус на минус даст плюс как теперь упростилась наше выражение 24 в квадрате это 576 не будем пропускать шаги сделаем все подробно 25 вторых в квадрате плюс 25 вторых в квадрате это 2 умножить на 25 вторых в квадрате плюс 2 умножить на здесь у нас снова будет 25 вторых в квадрате и умножить на синус тета теперь осталось и выразить отсюда синус тета слева так и останется 576 а справа вынесем за скобки 2 умножить на 25 вторых в квадрате тогда в скобках останется один плюс синус тета теперь можно разделить обе части на вот это выражение но давайте его сначала упростим 25 вторых в квадрате это 625 4 умножаем его на 2 получается 625 вторых теперь разделим обе части равенства на 625 вторых слева получится 576 умножить на два и разделить на 625 деление на дробь и равносильно умножению на обратную дробь справа 625 вторых сократится и останется единица плюс синус тета теперь вычтем единицу из обеих частей получится синус тета равен чему равно 576 умножить на 276 на 2 это 152 плюс 1000 получается 1152 разделить на 625 это мы преобразовали вот это выражение из него вычитаем единицу но представим единицу как 625 625 тогда в числителе будет минус 625 давайте отдельно посчитаем что получится в числителе 1152 минус 625 здесь берем 12 пятерка становится четверкой 12 минус 5 это 74 минус 2 это 2 11 минус 6а 5 итак справа остается 527 разделить на 625 может вы и не догадываетесь но мы вышли на финишную прямую давайте изобразим отдельно треугольник cdm тото которым нас спрашивают в задаче но я его немного поверну теперь мы знаем и треугольнике cdm несколько интересных фактов это у нас точка c и т.д. а это м мы знаем сторону dm она равна 5 вторым корни из 11 это у нас длина стороны д.м. кроме того мы знаем длину стороны cm она равна 25 вторым мы так же знаем что синус вот этого угла тета равен пятистам 27 625 это мы только что с вами выяснили и теперь мы можем вычислить высоту треугольника cdm ведь синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе а вот этот маленький треугольник прямоугольник синус угла тета то есть 527 625 равен отношению противолежащего катета то есть и высоте треугольника к гипотенузе к 5 вторым корни из 11 умножим обе части равенства на 5 вторых корни из 11 тогда получится что высота треугольника равна 527 625 умножить на 5 вторых корня из 11 625 разделить на 5 это 125 здесь остается единица а здесь 125 и все это упрощается до 527 корней за 11 разделить на 125 на 2 это 250 это высота нашего треугольника а чему равна его площадь половины произведения основания на высоту площадь равна половине произведения основания то есть 25 вторых на высоту на 527 корней за 11 разделить на 250 делим числитель и знаменатель на 25 тогда 25 сокращается а здесь остается 10 получается 527 квадратных корней за 11 разделить на 2 умножить на 2 умножить на 10 это 40 вот чему равна его площадь но нас просили найти не площадь а сумму m + n + p в нашем случае это 527 плюс 11 плюс 40 и так 527 + 11 это 538 плюс еще 40 это 578 все задача решена спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы