If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:18:18

Транскрипция к видео

данные точки на координатной плоскости а 0 0 и b b2 а b c d e f выпуклый равносторонний шестиугольник слова выпуклый означает что у него нет вогнутости не выпуклый многоугольник выглядит примерно вот так у него есть вот такая вогнутость все стороны нашего шестиугольника будут равны причем нам несказанно что это правильный шестиугольник то есть мы не можем утверждать что все его углы равны мы знаем что равны его стороны угол f a b равен 120 градусам дальше нам говорят что некоторые стороны в нем попарно параллельны а y координаты вершин являются различными элементами множества 0 2 4 6 8 и 10 затем нам дано что площадь шестиугольника можно представить в виде м корней из n где m и n натуральные числа а среди делителей н-нет квадратов простых чисел это нам таким замысловатым способом сказали что квадратный корень упростить нельзя найдите m + n давайте попытаемся представить себе данный шестиугольник координаты одной из вершин нам известны 00 изобразим координатную плоскость это у нас ось x а вот эту ось y мы знаем что вершина а совпадает с началом координат мы знаем что y координаты всех вершин равны одному и значений 0 2 4 6 8 или 10 причем все игры координаты различны то есть ни у каких двух вершин и y координаты не совпадают они не могут лежать на одной горизонтальной прямой давайте отметим эти точки здесь у нас y равен нулю здесь y равен двум это 4 здесь шесть это . 8 и наконец 10 сразу отметим что . 0 у нас использована для вершины а у точки a y равен нулю кроме того нам дано что y координаты точки b равна ум значит число 2 также уже использована . бы лежит где-то вот на этой горизонтальной прямой длину стороны шестиугольника обозначим за с мы пока не знаем чему равно s но мы знаем что длинный всех сторон равны поскольку нам дано что шестиугольник равносторонний координаты вот этой точки равняется b2 мы пока не знаем значение x координаты на вершинах б лежит где-то здесь далее вершина f тоже связано с вершины а стороной вершина f не может лежать на прямой y равен нулю не может лежать на прямой y равен двум и также она не может лежать на прямой y равен 6 тогда расстояние от а до f будет слишком большим гораздо большем чем от а до б вернее . рф может там лежать но тогда наш шестиугольник не будет выпуклым а значит следующая вершина обязан лежать и вот на этой горизонтали на расстоянии с от точки а это будет выглядеть примерно вот так вот это у нас следующая вершина вершина f шестиугольник обозначен как a b c d e f то есть после f идет снова а теперь подумаем где лежит вершина c 4 горизонтали занята значит . цель должна лежать на 6 диагонали она будет находиться примерно вот здесь это у нас вершина c и опять же длинный всех сторон всех этих отрезков равны с где будет находиться вершины е 6 горизонталь уже занято вершиной c 4 тоже занято вершины f значит она лежит где-то на 8 горизонтали это у нас тоже отрезок с кроме того мы возвращаемся на ось y это у нас вершина е откуда мы знаем что мы возвращаемся в ту же самую x координату то есть x равен нулю длина этого отрезка равна s и длина вот этого отрезка равна s причем в обоих случаях по вертикали мы переместились на одно и то же расстояние здесь мы сдвинулись на 4 и здесь мы сдвинулись на 4 можно представить себе два прямоугольных треугольника у обоих есть катеты равны и 4-ая гипотенузы равны с и вот этот катет у них общий а следовательно мы сначала сдвинемся влево на определенное расстояние затем вернемся вправо на то же самое расстояние для оставшейся вершины d остается только 10 горизонталь а значит по той же самой логике точки d&b будут иметь одинаковые x координаты рассуждаем точно так же здесь мы переместились на с по диагонали сместившись на 4 по вертикали значит сместившись на с по диагонали в обратном направлении и на 4 вверх мы вернемся в ту же точку по горизонтали следовательно . d будет находиться строго над точкой b это значит что координаты точки db10 и и y координата равна 10 и так вот такой у нас получился шестиугольник нам ещё сказано что некоторые стороны в нем параллельны например абэ параллельно т.е. рисунке это очевидно bc параллельно е ф и сторона cd параллельна стороне ф а по нашему чертежу видно что это именно так дальше нам нужно найти площадь этого шестиугольника и для начала предлагаю выяснить чему же равно с найти значение с можно выяснив наклон любой сторон как видим наш шестиугольник неправильный у него углы не равны можно сказать что он слегка вытянут но все его стороны одинаковы давайте обозначим вот этот угол буквой т то и нам дано что угол f a b равен 120 градусам вот этот угол а значит левый угол будет равен 180 минус 120 минус тета 180 минус 120 это 60 следовательно вот этот угол равен 60 минус тета зачем я это сделала затем что у нас есть кое-какая полезная информация здесь мы переместились и вверх на 4 а здесь мы переместились на 2 возможно нам удастся воспользоваться этой информацией чтобы узнать чему равно s ведь с эта гипотенуза обоих построенных мной прямоугольных треугольников давайте нарисую эти треугольники отдельно гипотенуза равна s это у нас угол тета а вот этот катет равен двум это вот этот правый треугольник левый треугольник выглядит вот так вот этот угол у нас 60 минус тета его высота равна четырем давайте подумаем как мы отсюда можем найти с в левым треугольники которые вот здесь у меня справа мы можем выразить синус тета синус угла тета равен отношению противолежащего катета к гипотенузе то есть два разделить на s я забыла отметить что гипотенуза второго треугольника тоже равна с синус 60 минус тета равен четырем разделить на s и мы можем приравнять эти выражению умножив предварительно в левом равенстве обе части на 2 тогда там получится 2 синуса тета равно 4 разделить на с синус 60 минус тета также равен 4 разделить на s значит мы можем приравнять эти выражения 2 синуса тета равно синусу 60 минус тета и тут мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами мы знаем что синус х минус b равно косинусу а умноженному на косинус б в нашем случае b это те то это я пользуюсь стандартной формуле синуса суммы или синусы разности и минус косинус 60 градусов умножить на синус тета и все это равно двум синусом тета синус 60 градусов это корень из 3 пополам косинус 60 градусов это одна вторая прибавим к обеим частям равенства одну вторую синуса тета что получится самое правое слагаемое сократится 217 эта то есть четыре вторых синуса тета плюс 1 2 синуса тета это будет равняться 5 вторым синуса тета я прибавил к левой части а вторую синуса тета получается 5 вторых синуса тета равно корню из 3 пополам на косинус тета я прибавила к обеим частям равенства одну вторую синуса тета теперь для упрощения умножу обе части на 2 получится 5 синусов то это равно корню из 3 на косинус тета а теперь я хочу воспользоваться основным тригонометрическим тождеством синус квадрат ted и плюс косинус квадрат то это равно единице для этого возведу обе части равенства в квадрат заодно справа избавимся от радикала получится 25 синусов квадрат это равно корень из 3 в квадрате это три а вместо косинус квадрат этой я запишу единица минус синус квадрат это косинус квадрат это это единица минус синус квадрат тета давайте отмечу что я сделала я возвела обе части равенства в квадрат получилось 25 синусов квадрат это равно 3 минус 3 синуса квадрат эта прибавим к обеим частям равенства 3 синуса квадрат это получится 28 на синус квадрат тета равно трем дальше синус квадрат тета равно трем двадцать восьмым или можно записать так синус тета равен корню из 3 28 это выражение можно немного упростить 28 это четырежды 7 четверку можно вынести из-под корня но можно оставить и так возможно мы сможем упростить это выражение позже иногда проще работать в таком виде без упрощения синус тета мы нашли теперь можем связать его со значением с пока не влезла в тригонометрические преобразования мы выяснили что синус тета равен двум разделить на s или с разделить на 2 равно единице деленный на синус тета отсюда с равно двум разделить на синус тета чему равен синус тэта мы выяснили это корень из 3 28 из равно двум разделить на это число это все равно что умножить на обратное значение то есть справа можно написать 2 умножить на корень из 28 третьих а теперь зная с давайте попробуем найти площадь например сразу бросается в глаза вот такой треугольник если основанием считать правую сторону то основание у него равно 8 а длину высоты то есть вот этого отрезка мы можем вычислить по теореме пифагора вот этот отрезок равен половине основания то есть 4 мы знаем что длина гипотенузы равна с а искомую высоту давайте обозначим буквой h по теореме пифагора h в квадрате плюс четыре в квадрате то есть 16 равно квадрату гипотенузы с в квадрате с это вот это число если возвести его в квадрат получится 4 умножить на 28 третьих вычтем из обеих частей равенства 16 получится h равно 4 умножить на 28 разделить на 3 минус 16 если привести правую часть к общему знаменателю то 16 это 48 третьих я не хочу умножать 2804 поэтому запишу 48 как четырежды 12 тогда в числителе получится 4 умножить на 28 -12 я забыла слева поставить квадрат у аж это у нас h в квадрате а справа у нас 4 умножить на 28 минус 12 разделить на 3 это равно 4 умножить на 16 разделить на 3 что то же самое что 64 третьих это у нас h в квадрате значит h равно корню квадратному из этого числа h равно 8 разделить на корень из 3 высота этого треугольника равна 8 деленным на корень из 3 давайте найдем теперь например площадь вот этого маленького треугольника она равна четырем умноженным на 8 на корень из 3 и умножить на одну вторую таким образом площадь вот этого треугольника закрашу его голубым цветом равна произведению аж то есть 8 на корень из 3 на 4 и на одну вторую можно упростить как 2 на 8 разделить на корень из 3 это равно 16 разделить на корень из 3 и так площадь вот этого треугольника равны 16 разделить на корень из 3 кроме того мы сразу видим еще один точно такой же треугольник у которого будет точно такая же площадь затем а вот этого треугольника будет точно такая же площадь она находится по точно такой же логике у этого треугольника тоже высота это же основание эти треугольники равны а вот еще один равный им треугольник то есть чтобы найти заштрихованную мною площадь мы должны площадь одного маленького треугольника умножить на 4 это равно 64 деленным на корень из 3 и нам осталось найти площадь вот этого параллелограмма в центре фигуры мы знаем основании этого параллелограмма оно равно 8 осталось выяснить его высоту и здесь нам снова поможет теорема пифагора буква h у меня уже использовалась но давайте я ее эту высоту тоже обозначу за аж просто будем помнить что это 2 разных буквой h и так длина вот этого маленького катета равна двум я знаю что чертеж становится трудночитаемым и по теореме пифагора h в квадрате плюс 2 в квадрате то есть 4 равно квадрату гипотенузы то есть s в квадрате мы уже выяснили чему равняется с в квадрате это 4 умножить на 28 и разделить на 3 вычтем 4 из обеих частей слева 4 сократится ос правда пишем минус 12 третьих 12 это четырежды три в числителе вынесем 4 за скобки получается 4 умножить на 28 -3 то есть четырежды 25 разделить на 3 и это равно 100 третьем это у нас h в квадрате чтобы получить аж нужно извлечь из этого числа квадратный корень получится 10 разделить на корень из 3 итак мы нашли высоту параллелограмма 10 разделить на корень из 3 площадь этого параллелограмма равна произведению высоты на основании 8 умножить на 10 разделить на корень из 3 то есть 80 разделить на корень из 3 теперь чтобы найти площадь всего шестиугольника мы должны сложить все что у нас училась суммарная площадь заштрихован их треугольников это 64 разделить на корень из 3 а площадь параллелограмма 80 разделить на корень из 3 сложим эти два числа это равняется 144 деленным на корень из 3 чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножим на корень из 3 деленный на корень из 3 в знаменателе останется 3 144 разделить на 3 это кажется 48 до трижды 40 это 120 трижды восемь это двадцать четыре получается 48 корней из 3 вот такая площадь у всего шестиугольника ответ у нас получился в том же виде что его слове задача 48 корней из 3 таким образом m + n это 48 плюс 3 то есть 51 вот такая непростая задачка но надеюсь вам было интересно спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы