If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:12:49

Транскрипция к видео

нас просят найти количество значений t то на интервале от минус и пополам до плюс и пополам исключая граничные значения поскольку скобки круглые таких что ты-то не равно n pe разделить на 5 где n равно нулю плюс минус единицы и плюс-минус 2 кроме того тангенс тетта должен равняться к тангенсу petit эта а синус 2 ты-то должен равняться косинусу 4т то нам нужно найти количество значений t то которые удовлетворяют всем перечисленным условиям сразу кажется что нам нужно выразить это из этих условий как-то преобразовав синусы и косинусы а также тангенса и котангенса именно этим мы займемся и если вы помните я никогда не рекомендую при сдаче экзамена в условиях ограниченного времени заново доказывает тригонометрические тождества самых основ но я всегда это делаю с образовательной целью давайте изобразим прямоугольный треугольник если вы когда-нибудь соберете сдавать вступительный экзамен по математике я советую запомнить все самые часто используемые тригонометрические формулы и так возьмем прямоугольный треугольник у которого вот этот угол равен тета а вот этот угол пусть равняется пи пополам минус тета мы считаем ты-то в радианах 90 градусов это пи пополам радиан сумма всех углов треугольника равна 180 градусам то есть и прямой угол этой пи пополам значит сумма двух оставшихся углов должна равняться оставшийся половине пи а следовательно третий угол равен пи пополам минус тета давайте подумаем чему равен косинус тета косинус тета это отношение прилежащего катета к гипотенузе давайте обозначим стороны треугольника за а b и c косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе следовательно косинус тета равен b разделить на c но что ещё в этом треугольнике будет равняться b разделить на c катит бы лежит напротив угла пи пополам минус тета для него он противолежащий катет то есть с точки зрения верхнего угла b на c это отношение противолежащего катета к гипотенузе а следовательно это равно синусу пи пополам минус тета вот первое тождества которое нам пригодится косинус тета равен синусу пи пополам минус тета по той же самой логике мы можем вывести что синус тета равен косинусу пи пополам минус тета эти формулы нам понадобятся когда мы приступим к решению вот этого уравнения и они же пригодятся нам для решения и вот этого уравнения тоже давайте выпишу отдельно котангенс petit это это тоже что косинус пи тит это деленный на синус пи тит это котангенс эта единица деленное на тангенс а дальше я могу преобразовать косинус и синус при помощи выведенной нами формулы косинус пи тит и это это тоже что синус пи пополам минус 5t то а в знаменателе синус 5 т то это тоже что косинус пи пополам минус 5 это это я воспользовалась вторым тождеством а это соответственно равно тангенсу пи пополам минус 5 это и поскольку мы в итоге будем решать и вот это уравнением нужно не забывать одну важную вещь если мы считаем тангенс угла давайте нарисуем единичную окружность изобразим координатные оси пусть а вот этот угол равняется ты то вы наверняка помните что тангенс тетта это фактически угловой коэффициент вот этого луча это отношение противолежащего катета к прилежащему то есть по сути угловой коэффициент луча который образует угол так вот если мы добавим к этому углу пи или 180 градусов то получим луч с точно таким же угловым коэффициентом вот этот большой угол равен это + p его тангенс будет точно таким же как у угла тета эти лучи лежат на одной прямой их угловой коэффициент совпадает а значит мы можем прибавлять к углу и сколько угодно раз и будем получать точно такие же значения тангенса поэтому давайте я в скобках припишут плюс н.п. чтобы мы получили в итоге все возможные решения теперь давай воспользуемся этими формулами чтобы решить первое из данных нам уравнений с остальными условиями мы разберемся позже итак уравнение тангенс тетта равен котангенс аппетит это давайте выпишем тангенс тетта равен а вместо котангенс аппетит этом мы можем написать тангенс пи пополам -5 тета плюс некое целое число n умножить на пи тангенса углов равны значит мы можем приравнять и сами углы получится тета равно пи пополам минус 5 это плюс н.п. если тангенса углов равны талибы сами углы равны либо они отличаются друг от друга на целое количество чисел и прибавим теперь 5 ты это к обеим частям уравнения получим 6 это равно пи пополам + n п то есть плюс произвольные целое количество чисел p разделим обе части равенства на 6 получится тета равно пи разделить на 12 плюс n pe разделить на 6 или можем привести дроби к общему знаменателю pin 12 + 2n pin 12 это тоже что and pin 6 я просто умножила числитель и знаменатель на 2 в 1 / и перед пик можно представить коэффициент единицу и это все можно представить и виде 2n + 1 умножить на pin 12 это все возможные решения первого уравнения теперь давайте решим второе уравнение посмотрим где множество его решений пересекается с первым уравнением а затем отберем только те решения которые удовлетворяют остальным условиям и так давайте решим второе уравнение но сначала определим чему равен косинус 4т то косинус 4 тета по формуле которую мы вывели в самом начале равен синусу пи пополам -4 тета плюс 2 п н сделать несколько полных оборотов по единичной окружности мы вернемся в ту же самую точку теперь вернемся к изначальному уравнению синус 2 тета равен косинусу 4т то а это в свою очередь равна выражению которые мы только что написали то есть синус у пи пополам -4 тета плюс 2 pi r синус и равны значит мы можем приравнять аргументы 25 равно пи пополам -4 тета плюс 2 п.н. давайте прибавим к обеим частям равенства 4т то слева получится 6 это а справа пи пополам + 2пи n4 это сокращается разделим теперь обе части равенства на 6 получим ты это равно пи на 12 плюс п.н. на 32 пи n разделить на 6 это т.н. на 3 теперь приведем это к общему знаменателю знаменателе будет 12 а в числителе первое число пи пи и на 3 это 4 м и на 12 или можем переписать это выражение вот в таком виде 4n + 1 умножить на pin 12 а теперь давайте проверим где эти решения пересекаются как вы помните нам достаточно пересчитать количество решений нам не обязательно их находить и если вы хорошо читаете его нет то можете прямо сейчас взглянув на эти формулы пересчитать сколько здесь совпадающих решений как вы помните мы ограничены интервалом от минус и пополам до пи пополам не включая граничные точки посмотрите внимательно каждое решение второго уравнения будет решением первого уравнения если подставить во второе решение любое значение n мы можем подставить 1 вдвое большее значение n и получить то же число и так все решения второго уравнения являются решениями 1 любое число удовлетворяющие второму уравнению будет удовлетворять и первому так что по сути можно посчитать количество решений второго уравнения но для большей наглядности я посчитаю количество решений 1 а потом посмотрю какие из них удовлетворяют второму но повторюсь быстрее будет просто сосчитать количество решений второго уравнения и можно считать задачу решенной итак давайте начнем с н равного нулю хотя я подставляю значение n вот в это выражение не обязательно выписывайте отдельно если n равно нулю получается pin 12 если n равно единице получается 3 pin 12 если n равно двум получается 5 pin 12 а дальше он не может равняться трём если взять и равные трем получится 7 pin 12 что больше чем пи пополам то есть 6 pin 12 то есть н-не может быть больше двух теперь давайте рассмотрим отрицательные значения если n равно минус единицы получится минус pin 12 если n равно -2 здесь будет минус 3 pin 12 а если n равно минус трём получится минус 5 pin 12 и снова дальше мы двигаться не можем поскольку при n равным -4 получится число минус 7 pin 12 который не попадает в заданный интервал и так вот все решения первого уравнения попадающий в заданный интервал сколько из них удовлетворяют второму уравнению если n равно нулю получится pin 12 если n равно единице получится 5 pin 12 н не может равняться двум поскольку дальше мы выйдем из заданного интервала если n равно минус единицы получится минус 3 pin 12 если n равно минус 2 у нас получится минус 7 и на 12 что меньше чем минус п пополам дальше можно не смотреть таким образом на заданном промежутке мы нашли три решения причем ни одно из них не попадает вот под это ограничение то есть не имеет вид and и разделить на 5 а следовательно ответ на нашу задачу 3 но повторюсь достаточно было посчитать решение второго уравнения и понять что каждая из них является решением 1 тогда мы бы сразу получили вот эти три числа и задача была бы решена спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы