If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:9:54

Транскрипция к видео

нас просят найти максимальное значение вот такого выражения единиц и деленная на синус квадрат тета плюс 3 синус тета косинус тета плюс 5 косинуса тета в квадрате давайте перепишем это выражение в числителе у нас единица а в знаменателе синус квадрат это когда я вижу квадрат синуса я всегда подсознательно тут же еще у квадрат косинуса потому что в сумме они дадут единицу но у меня здесь не просто косинус квадрат это у меня аж целых пять косинусов тета в квадрате давайте я выделю один из них запишем плюс косинус квадрат тета1 я выделила осталось четыре пишем дальше плюс 4 косинуса тета в квадрате и что у нас осталось 3 синуса тета косинус тета то есть на первом шаге я сгруппировал и вот эти два слагаемых синус квадрат тета плюс косинус квадрат это равно единице мы немного упростили выражение в числителе так и осталась единица а в знаменателе теперь 1 плюс давайте подумаем как можно преобразовать 4 косинуса тета в квадрате какие у нас есть формулы косинус квадрат тета равен и мы доказывали эту формулу в одном из предыдущих видео он равен единице плюс косинус 2 ты-то пополам что я делаю я хочу упростить выражение в знаменателе а потом возможно воспользоваться математическим анализом чтобы найти минимальное значение знаменателя она будет соответствовать максимальному значению всего выражения и так косинус квадрат это равен вот этому значению если умножить его на 4 получится 4 разделить на два это два значит получится 2 умножить на вот этот числитель запишу два плюс два косинуса 2t то это мы преобразовали вот это слагаемое а для последнего слагаемого воспользуемся другой формулой который гласит что синус 2 тета равняется двум синусом тета на косинус тета или разделив обе части равенства на 2 получим 1 2 синуса 2 т т равно синуса тета на косинус тета то есть вот эта часть будет равна половине синуса 2t то умножим ее на три получим три вторых синуса 2t то первые два слагаемых очевидно упрощаются до 3 давайте перепишем еще раз все в числителе снова единица а в знаменателе 3 + 2 косинуса 2 тета плюс три вторых синус от двух тета и нас по сути будет интересовать минимальное значение знаменателя которые будет соответствовать максимальному значению всего выражения мы единицу разделим на минимум знаменателя правда это верно только для положительных значений итак давайте посмотрим как близко может подойти к нулю знаменатель мы ищем его минимальное положительное значение давайте немного упростим себе задачу минимум вот такого выражения в знаменателе и так минимум 3 + 2 косинуса 2 тета плюс три вторых синуса 2t то я сейчас делаю подстановку заменяют два титана x хотя так делать и не обязательно но это немного упростит наше выражение и так это равно минимуму 3 + 2 косинуса икс плюс три вторых синуса x у нас получилась достаточно простое выражение давайте попробуем найти его минимальные значения сразу же хочется взять производную найти точки где производная равна нулю и среди таких точек поискать точки максимума и минимума давайте так и поступим производная 3 по отношению к значению x это 0 производная 2 косинусов x равна минус двум синусом x производная 3 вторых синуса x равняется плюс 3 вторым косинуса x и это все нужно приравнять к нулю потому что мы хотим найти точки в которых угловой коэффициент касательной равен нулю все точки максимума и минимума попадают под это условие давайте прибавим к обеим частям равенства -2 синуса x получится три вторых косинусы x равно двум синусом x теперь давайте разделим обе части этого равенства на примерно два я хотела разделить на другое число но не будем забегать вперед и так три четверти косинусы x равно синусу x теперь давайте разделим обе части на косинус икс слева получится три четверти а справа синус x разделить на косинус икс что равно тангенсу x таким образом все точки максимумов и минимумов нашей функции соответствует условию тангенс икс равен трем четвертым давайте подумаем что это заточки изображу единичную окружность и посмотрим в каких местах на ней тангенс будет равен трем четвертым и так вот это моя единичная окружность и какой треугольник мне в ней построить чтобы тангенс угла в нем равнялся трем четвертым напомню тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему то есть если взять вот такой прямоугольный треугольник в котором вот этот угол равен x тогда отношение противолежащего катета к прилежащему равен трем четвертым скажем если противолежащий катет будет равен трем тогда прилежащий катет будет равен четырем и думаю такой треугольник вы сразу узнаете это прямоугольный треугольник со сторонами 3 4 и 5 3 в квадрате плюс четыре в квадрате равно 25 то есть 5 в квадрате то есть это прямоугольный треугольник со сторонами 3 4 и 5 на единичной окружности такому значению тангенса соответствуют две точки в этом треугольнике гипотенуза очевидно не может быть и радиусом единичной окружности но мы можем разделить все величины на 5 и тогда получим вот такую картинку здесь вот этот угол будет равен значению x гипотенуза в единичной окружности равна единица и этот катет равен трем пятым а этот 4 5 таком случае тангенс икс как раз и будет равен трем четвертым но будет ли это минимумом или максимумом в этой точке синус и косинус будут положительными то есть оба этих слагаемых будут положительно таким образом скорее всего они в этой точке достигнут максимума но как вы помните тангенс это угловой кайф центр радиуса единичной окружности и в единичной окружности есть два радиуса с одинаковым угловым коэффициентом в нашем случае еще одним углом x тангенс которого равен тому же значению будет вот этот угол у такого угла точно такой же тангенс при таком значении x тангенс тоже будет равен трем четвертым но здесь синус и косинус будут отрицательными в этой точке и и x-координата то есть косинус будет равняться минус 4 5 а y-координата то есть синус будет равняться минус 3 5 в этой точке выражение скорее всего достигнет минимума поскольку и синус и косинус здесь отрицательное а значит нам нужно именно это значение x и обратите внимание нам даже не нужно знать чему равно значение x достаточно того что мы знаем что тангенс равен трем четвертым это значит что если синус равен трем пятым а косинус равен четырем пятым то мы получим точку максимума но тангенс может быть равен трем четвертым и вот в этой точке здесь синус минус три пятых а косинус минус четыре пятых и это будет минимум и так минимум вот этого выражения равен трем + 2 косинуса x в нашем случае косинус икс равен минус 4 5 а дальше пишем плюс три вторых синусы x синус x равен минус трём пятым чему это равно 3 плюс это минус 8 5 запишем 3 минус 8 5 и минус девять десятых приведем все дроби к общему знаменателю 10 получится 30 десятых -16 десятых это 8 5 минус девять десятых и что получится получится пять десятых то есть 1 2 но мы сейчас вели речь о знаменателя минимальное значение вот этого выражения в знаменателе равняется 1 2 следовательно максимальное значение всего выражения равно единице деленный на минимум знаменателя единицы деленные на одну вторую равно двум все задача решена спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы