If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:15:13

Транскрипция к видео

если углы треугольника а b и c образуют арифметическую прогрессию а маленькие буквы a b и c этот длинный сторон напротив углов обозначенных большими буквами a b и c соответственно тогда чему равно значение вот такого выражения давайте попробуем решить эту задачу начнем с того что на чертим треугольник для того чтобы мы хорошо понимали какая буквы что означает и так у нас есть треугольник углы которого обозначаются большими буквами a b и c а напротив этих углов лежат стороны обозначенные соответствующими маленькими буквами то есть напротив угла обозначенного большой буквой а лежит страна обозначенная маленькой буквой а напротив угла большая буква б лежит сторона маленькая буква б а напротив угла большая буква ц лежит сторона маленькая буква ц первое что нам дано это то что углы a b и c образуют арифметическую прогрессию что такое арифметическая прогрессия эта последовательность чисел отличающихся на одно и то же значение например 123 это арифметическая прогрессия или 246 это еще одна арифметическая прогрессия каждое следующее число увеличивается на 2 10 20 30 это тоже арифметическая прогрессия иными словами нам говорят что разница между углом а и углом b равна разнице между углом b и углом c давайте посмотрим какую информацию можно из этого извлечь возможно эта информация нам вообще никак не пригодится и так у нас есть некий угол а и у нас есть угол b который равен углу а плюс некая константа n мы не знаем чему равно n n может быть равно единице может быть равно двум может равняться 10 мы этого не знаем поэтому пока напишем просто а + n тогда угол c равен углу b плюс то же самое число n но b равно а + n значит c равно а + n + n то есть а + 2n что мы знаем об углах треугольника мы знаем что их сумма равна 180 то есть это значение плюс вот это значение плюс вот это значение в сумме должны равняться 180 градусам давайте это запишем а + а + n + а + 2n равно 180 углов а у нас три значит запишем 3 а дальше у нас есть n и 2n то есть пишем + 3n и все это равно 180 можно разделить обе части равенства на 3 тогда получится а + n равно 60 что нам это даст значение а мы по-прежнему не знаем если а равно одному тогда n равно 59 если n равно 10 тогда а равно 50 таким образом мы пока ничего нового не узнали про угол а но давайте посмотрим где у нас встречалась выражение а + n вот а на b равно а + n а мы только что выяснили что а + n в любом случае равняется 60 градусов то есть мы можем сделать вывод из этих данных вы обязаны быть равным 60 градусам и вы можете сами проверить на разных числах скажем величины углов могут равняться 59 и 60 и 61 это пример арифметической прогрессии здесь б это вот это второе значение либо это может быть последовательность 50 60 и 70 либо 40 60 и 80 какую бы арифметическую прогрессию мы не взяли сумма всех трех углов будет равняться 180 градусам и при этом второе число обязаны равняться 60 пока у нас все идет хорошо давайте посмотрим что мы можем сделать со второй частью задачи и так нас просят найти значение вот такого выражения а разделить на c умножить на синус 2 c + c разделить на а умножить на синус 2а давайте я выпишу это выражение а разделить на c умножить на синус 2 c здесь c большая плюс b разделить на а умножить на синус 2а где от уж большая чему равно значение этого выражения если вы видите тригонометрические функции с двойками в аргументах первым же делом рекомендую вам поэкспериментировать с тригонометрическими тождествами и посмотреть вдруг всплывет что-нибудь полезное и маленькая подсказка от меня из первой части задачи мы сумели выяснить чему равно b но в этом выражении угла b вообще нет и на первый взгляд эта информация нам ничем не может помочь но возможно нам удасться как-нибудь выразить это все через б тогда мы сумеем продвинуться в решении поскольку об угле б мы кое-что знаем давайте посмотрим что можно сделать как я уже сказала первое что хочется сделать когда мы видим синус от удвоенного аргумента это применить формулу двойного угла синус двух переменных равен двум синусом этой переменной умноженным на косинус этой переменной эта формула написано наверное на всех первых страницах учебников по тригонометрии или даже по математическому анализу теперь применим ее к второму слагаемому синус 2а это два синуса а умножить на косинус а это стандартное тригонометрическое тождество мне даже кажется что мы его несколько раз доказывали и перед этими слагаемыми у нас остались коэффициенты перед первым а разделить нация а перед вторым c разделить на а как вы помните мы сейчас должны держать в голове информацию о том что угол b равен 60 градусам и думайте о том как эту информацию можно применить поэтому в идеале мы должны выразить это все через b когда я вижу треугольник и некие выражения где есть его углы и стороны я всегда вспоминаю теоремы синусов и косинусов которые связывают углы и стороны треугольника особенно это важно если треугольник не прямоугольный давайте например вспомним теорему синусов она гласит что отношение синуса ок а равно отношению синуса bkb и равно отношению синуса c&c кажется что эту теорему как-то можно применить но давайте я сразу выпиши теорему косинусов вдруг она тоже поможет теорему косинусов это по сути обобщении теоремы пифагора любые треугольники а не только на прямоугольные и так c квадрат равно х квадрат плюс б квадрат минус 2 а b косинус c здесь c большая этой теоремы синусов это косинусов давайте подумаем как мы можем применить эти теоремы чтобы выразить вот эту сумму через угол b который нам уже известен в первую очередь можно преобразовать это как синус цель деленный на c а это как синус а деленный на а смотрите слева у меня есть 2 а косинусов c давайте выпишу отдельно 2а косинусов c и все это умножаем на отношение синуса ckc и так это умножается на осину sc нация под синусом у нас большая буква ц а делится синус на маленькую букву ц и к этому надо прибавить со вторым слагаемым я проделаю то же самое выделю отдельно вот этот и вот этот множитель им не получится плюс 20 косинусов а умножить на синус большой а деленный на маленькую а что теперь с этим делать давайте взглянем на теорему синусов у меня есть синус c и деленной нация это вот это выражение и есть синус а деленный на маленькую а это вот это выражение и оба эти выражения равны синусу б деленному на б мы движемся в верном направлении итак заменим это выражение на синус большой буквы б деленный на маленькую букву б и вот это выражение тоже заменим на синус большой буквы б деленный на маленькую букву б и каждый из этих выражений умножается на другое выражение допишем их первое слагаемое умножается на 2 а косинус c а второе на 20 косинус и синус bay деленный на b мы можем вынести за скобки в скобках останется 2 а я знаю какой шаг сделаю следующем поэтому оставлю немного места и так 2а умножить на косинус c + эти два выражения здесь перемноженные просто я оставила между ними немного свободного места + 2 c умножить на косинус а и все это умножается на синус б деленный на мы уже знаем что угол b равен 60 градусам по этому значение части этого выражения нам уже известно давайте продолжим и посмотрим удастся ли нам через b выразить то что осталось в скобках смотрите здесь у нас есть два она косинус c i2c на косинус а оба этих выражения очень похожи на последнее слагаемое в теореме косинусов давайте выразим его из теоремы косинусов вычтем из обеих частей равенства 2 а b косинус c получится 2 а b косинус c + c квадрат равно а квадрат плюс б квадрат теперь вычтем из обеих частей c квадрат получится 2 а b косинус c равно а квадрат плюс б квадрат минус b квадрат это интересное выражение причем мы можем подставлять в него разные буквы первое слагаемое в скобках очень похожа на левую часть этого равенства и второе слагаемое тоже похожи но в нем другие переменные давайте я выпишу это же равенство для угла а получится 2cb косинус а я поменяла она c и наоборот это равняется c квадрат плюс б квадрат минус а квадрат сторона ция и угол c ничем не уникальны это равенство выполняется для любых углов если под косинусом большая цепь тогда перед ним будут стоять маленькие буквы a и b а справа будет а квадрат плюс б квадрат минус b квадрат а если под косинусом большая а тогда перед ним стоит cb а справа мы вычитаем а квадрат чем нам это полезно тем что левая часть вот этого выражения очень похоже на первое слагаемое скобок только его нужно умножить на b давайте так и сделаем мы умножим на b весь числитель все выражение что стоит в скобках тогда первое слагаемое умножить на b и второе слагаемое умножить на b но разумеется нельзя просто так умножать все что мы хотим на б так мы меняем значение этого выражения поэтому мы должны не только умножить выражение на b как мы сейчас сделали внеся его в скобки но мы должны также разделить его на b деление на бы равносильно умножению на и знаменателя умножение знаменателе на бы равносильно делению на b знаменатель станет равен b в квадрате и так что это нам дает первое слагаемое равно вот такому выражению мы можем заменить его на а квадрат плюс б квадрат минус b квадрат а второе слагаемое в скобках равно вот такому выражению мы вывели его из теоремы косинусов и так пишем + c квадрат плюс б квадрат минус а квадрат и все это умножаем на синус bay деленный на b квадрат что получается в скобках а квадрат и минус а квадрат сокращаются выражение начинает упрощаться и так вычеркиваем а квадрат и минус а квадрат также сокращаются минус t квадрат и + c квадрат и что осталось осталось 2 b квадрат и так всё это выражение упростилась давида 2 b квадрат синус b разделить на b квадрат b квадрат и b квадрат сокращаются и все это выражение упрощается до двух синусов b и мы с вами уже знаем чему равно b мы выяснили чтобы равно 60 градусов то есть это равно двум синусом 60 градусов если вы не помните чему равен синус 60 градусов вы всегда можете вывести его начертив треугольник 30 60 90 этот угол в нем 60 градусов длина гипотенузы пусть равняется единице это радиус единичной окружности этот угол 30 градусов катит лежащий напротив угла 30 градусов равен одной второй окатит напротив угла 60 градусов больше в корень из 3 1 то есть корень из 3 пополам вы всегда можете вывести длину этого катета по теореме пифагора синуса угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе то есть корень из 3 пополам разделить на 1 то есть просто корень из 3 пополам и так вот наши финишная прямая искомое выражение равно 2 умножить на корень из 3 пополам двойки сокращаются остается просто корень квадратный из 3 интересная задача на мой взгляд эта задача была взята со вступительного экзамена вами диски технологический институт 2010 года куда довольно сложно попасть в этот университет всегда очень большой конкурс спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы