If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:11:02

Транскрипция к видео

нас просят найти количество всех возможных значений t то лежащих на интервале от 0 до пи при которых систему уравнений y плюс z косинус 3 тета равно x y z синус 3x синус 3 т т равно двум косинусом 3t разделить на y + 2 синус и 3t разделить на z и наконец x y z синус 3 5 равно y плюс 2z косинус 3 т т плюс y синус 3 т то так вот этой системы уравнений должна иметь решение x 0 и y нулевое z нулевое при котором произведение y нулевое назад 0 не равно нулю это значит что не y нулевое не z нулевое не должно равняться нулю на первый взгляд задача совершенно обескураживает давайте постараемся ее максимально упростить я сразу хочу сделать несколько вещей во-первых как мы видим аргументом всех тригонометрических функций в условий является 3t то от это у нас лежит на интервале от 0 до пи мне тут же хочется сделать замену и сделать задачу чуть чуть проще давайте переменной у обозначим 3 это там где ты это должно быть больше 0 у также должно быть больше 0 а если ты ты должно быть меньше пи значит у должно быть меньше 3 и теперь мы должны найти количество значений у на интервале от 0 до 3 пи при которых систему уравнений y плюс z косинус у равно x y z синус о и так далее имеет указанные решения и так такая постановка сделает эти 3 уравнения чуть проще после этого давайте попробуем преобразовать их и посмотреть возможно нам удастся сократить какие-нибудь слагаемое начнем с того что раскроем скобки в левой части первого уравнения напомню что вместо трех ты-то у нас везде теперь стоит у раскроем скобки в левой части первого уравнения слева получится y que синус у плюс z косинус у а справа получается x y z синус у это первое уравнение во втором уравнении давайте умножим обе части на y z тогда слева получится x y z синус у ровно та же что у нас теперь стоит в правой части первого уравнения итак умножим обе части второго уравнения на y z чтобы справа избавиться от знаменателей слева у нас получается x y z синус у давайте поменяю местами стороны и запишу левую часть справа x y z синус у y z умножить на 2 косинуса u разделить на y равно двум z косинус у напомню я поменяла местами стороны равенства y z умножить на 2 синуса у разделить на z и равно двум игрокам на синус у это второе уравнение обратите внимание она не сильно отличается от первого хотя в изначальном виде они казались совершенно разными теперь давайте рассмотрим третье уравнение слева у него тоже стоит x y z синус у и снова поменяю местами стороны справа запишу x y z синус у а с другой стороны давайте раскроем скобки получится 2z косинус у запишу плюс 2z косинус у и плюс y на косинус у это я раскрыла скобки и осталось последнее слагаемое плюс y синус у сдвину немного экран чтобы освободить место запишем y синус о итак я немного преобразовала эти 3 уравнения и надеюсь что теперь они выглядят не так устрашающе далее давайте выясним сколько всего значений у между нулем и тремя пи дадут нам требуемые решения все три левые части уравнения равны одному и тому же выражению справа а значит все три выражения слева равны друг другу поскольку они все равны одному и тому же значению давайте теперь подумаем что здесь можно сократить левая часть второго уравнения должна равняться и левой части 3 давайте рассмотрим сначала эту пару уравнений запишем 2y синус х плюс 2z косинус у равна этому выражению то есть и этому тоже а значит и левой части 3 уравнения это все будет равно y синус у плюс y косинус х плюс 2z косинус у справа и слева у нас стоит 2z косинус у можно их сократить слева у нас 2y синус у а справа y синус у вычтем y синус у из обеих частей равенства слева останется y синус о мы вычли y синус у из обеих частей равенства было 2y синус о осталось y синус у а справа y косинус у как мы помним из условия y у нас не может равняться нулю а значит чтобы выполнялось вот такое равенство коэффициенты перед игреками должны быть равны то есть синус у должен равняться косинусу у мы вывели одно условие синус х должен равняться косинусу у давайте представим себе единичную окружность и подумаем сколько раз синус и косинус могут равняться друг другу на интервале от 0 до 3 п вот это у меня единичная окружность и так очевидно что угла 45 градусов синус и косинус равны 45 градусов и taipan и 4 радиан в этой точке синус и косинус равны может показаться что следующая точка вот здесь но здесь since положительный а косинус отрицательные так что это . отпадает и синус и косинус отрицательные при этом равные друг другу вот в этой точке то есть это еще одно подходящее нам значение дальше вот эта точка снова не подходит мы уже сделали полный оборот в 2 пи и нам осталось сделать еще пол оборота добавите еще пи и здесь мы снова вернёмся вот в эту точку сколько подходящих значений получается одно второе а потом мы еще делаем полоборота 3 подходящих значения во вторую точку мы снова попасть не с мужем потому что мы ограничены сверху тремя api мы можем сделать только полный оборот 2пи затем еще пол оборота это и будет 3 п итак одно-два-три подходящих значения у мы получили это из одного единственного условия сопоставив синие и малиновое уравнение давайте теперь проверим появится ли у нас дополнительные ограничения для этого сопоставим другую пару уравнений где явно должно что-нибудь сократится например первое и третье и поскольку учтем все три уравнения мы должны получить полный набор всех возможных ограничений правые части уравнений одинаковы значит левые части равны друг другу y косинус у плюс z косинус у равняется вот этому фиолетовому выражению то есть y синус у плюс y косинус х плюс 2z косинус у в обеих частях равенства у нас есть y косинус и мы можем их сократить дальше вычтем из обеих частей z косинус у слева получится 0 а справа y синус у плюс z косинус у на первый взгляд у нас получилось не очень четкое ограничение y синус у плюс z косинус о равно нулю давайте теперь умножим обе части равенства на 2 получится что 2y синус у плюс 2z косинус у также равно нулю зачем я умножила все на 2 потому что теперь это выражение похоже на левую часть второго уравнения я сопоставила первые третье уравнение и получилось что левая часть второго уравнения обязана равняться нулю а значит и правая часть второго уравнения обязана равняться нулю а из этого следует что либо синус у равен нулю либо x равен нулю как вы помните нам никто не ограничивал значения x поэтому он может равняться нулю а значит никаких дополнительных условий ограничений мы не получили таким образом мы воспользовались всей данные в условии задачи информацией и рассмотрели все три поверхности и разобрались какие ограничения накладываются на точке их пересечения такое ограничение получилось только одно синус у должен равняться косинусу у а на интервале от 0 до 3 пи всего три значения у удовлетворяющих этому требованию спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы