If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:9:44

Транскрипция к видео

нам дана функция же от x равно тангенсу x минус 3 пи пополам + 6 и нас просят найти обратную функцию китай и вести ее вот в это поле а кроме того нас просят найти область определения обратной функции и так давайте сначала найдем обратную функцию к данной подпишем это у нас функция же от x она равна тангенсу x минус 3 пи пополам + 6 чтобы найти обратную функцию я могу заменить иксы в аргументе на же обратная а же апекс заменить на x а затем выразить оттуда же обратно и и так мы можем записать x равен тангенсу же обратная от x минус 3 пи пополам + 6 теперь отсюда нужно выразить же обратные от x рекомендую вам нажать на паузу и попробовать найти ответ самостоятельно для начала давайте вычтем 6 из обеих частей равенства чтобы избавиться от шестерки справа получится x минус 6 равно тангенсу же обратно и от x минус 3 пи пополам теперь давайте возьмем арктангенс от обеих частей этого равенства слева у нас получится арк тангенс икс минус 6а что будет справа если мы корректно ограничим область определения тангенса мы еще немного об этом поговорим тогда арктангенс тангенса будет равен аргумент у этого тангенса опять же это верно только если мы корректно ограничим область определения тогда арктангенс тангенса от некоего значение тетта будет равен тета повторю ещё раз это верно только если мы корректно ограничим все возможные значения t то предположим что в нашем случае область определения корректно ограничено тогда арктангенс тангенса будет равен всему тому что написано в скобках значит справа у нас получится же обратная от x минус 3 пи пополам далее чтобы выразить обратно функцию достаточно прибавить к обеим частям 3 пи пополам давайте сразу поменять местами стороны получится же обратно и от x равно арктангенса x минус 6 и мы прибавили 3 пи пополам значит слева окажется 3 пи пополам но мы поменяли местами стороны теперь плюс 3 пополам будет справа теперь нужно переписать ответ в соответствующее поле у нас получилось арк тангенс икс минус 6 плюс 3 пи разделить на 2 здесь нам придется написать ответ при помощи вот такого синтаксиса обратный тангенс икс минус 6 чтобы система поняла ответ я должна написать арктангенс вот в таком виде плюс 3 пи пополам а теперь мы должны подумать над областью определения обратной функции для этого давайте сначала подумаем что делает функция тангенс представим единичную окружность а это координатные оси x и y и давайте отложим на ней некий угол тета так вот тангенс угла тета это угловой коэффициент вот этого конечного луча угла угол образуется двумя лучами вот этим и положительным направлением оси x так вот тангенс это угловой коэффициент вот этого луча тангенс можно вычислить от любых углов это за некоторым исключением можно вычислить тангенс и угловой коэффициент вот таких углов и даже найти угловой коэффициент у такого луча элиава такого луча но нельзя вычислить угловой коэффициент луча идущего и вертикально вверх или вертикальный вниз у вертикальной прямой нет углового коэффициента в таком положении он стремится к плюс или минус бесконечности таким образом область определения тангенса это любые вещественные числа кроме пи пополам плюс любое целое количество пи то есть плюс пика где к это любое целое число это значит что мы можем не только прибавлять и но и вычитать если добавить и мы окажемся вот здесь добавим еще и попадем сюда а если вычтем пи попадем в другую сторону минус 2 пи это вот эта . и так далее итак область определения мы нашли но на этой области определения можно получить любое действительное число и это значит что область значений это все вещественные числа множество вещественных чисел обозначается вот такой буквой r с двойную вертикалью мы можем приближать ты так пи пополам а для очень большого по модулю отрицательного тангенса приближать т-так минус и пополам таким образом мы можем получить буквально любое число а теперь рассмотрим арктангенс чтобы тангенс получился обратимым мы должны ограничить его область определения так чтобы каждому элементу из области значений соответствовал ровно один элемент из области определения например возьмем вот такой угол угловой коэффициент его луча будет точно таким же как и у вот такого угла таким образом если мы не ограничим область определения тангенса чтобы каждому его значению соответствовал ровно один аргумент тангенс не будет обратимым математики договорились чтобы сделать тангенс обратимом ограничивают его область определения открытым промежутком от минус пипа полам до плюс и пополам если сделать такое ограничение тогда тангенс станет обратимом в качестве аргумента арктангенса может выступать любое вещественное число чтобы арктангенс мог считаться строгой обратной функцией тангенса математики договорились ограничить область определения тангенса интервалом от минус п до пи а область определения арктангенса это все вещественные числа а согласно этой договоренности область значений арктангенса это интервал от минус и пополам до пи пополам исключая эти значения а теперь давайте вернёмся к изначальной задаче какая область определения обратной функции давайте посмотрим на получившуюся у нас обратную функцию в качестве аргумента арктангенса может выступать любое вещественное число а его значение будут лежать в интервале от минус и пополам до пи пополам хотя нас не просят найти область значений обратные функции но на мой взгляд это был бы более интересный вопрос нас просят найти область определения аргументом арктангенса может быть любое вещественное число давайте отметим ответ область определения функции же обратно и от минус бесконечности до плюс бесконечности давайте проверим провели ли мы ответили все верно но ради интереса давайте попробуем выяснить область значений функции же обратно и область значений арктангенса это интервал от минус п пополам до пи пополам эту область значений вот и этой части функции а затем мы добавляем к получившемуся числу 3 пи пополам а значит область значений всей функции же обратное будет вот такой если мы возьмем нижнюю границу интервала добавим к ней три пи пополам получится три пи пополам минус и пополам это 2 пи пополам то есть просто пи а для верхней границы 3 пи пополам плюс еще пи пополам получится 4 пи пополам то есть два пи таким образом а область значений функции же обратно и это интервал то есть открытый промежуток от пи до 2 пи это значит что в него не включаются граничные значения но в качестве аргумента можно подставить любое вещественное число и для любого числа такая функция будет определена спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить