Введение в арккосинус

мы с вами уже познакомились с арксинусом и арктангенса и чтобы закончить строится и основных тригонометрических функций я должна рассказать о баркасе no se arc косинус определяется по точно такой же логике как и две другие функции если я говорю вам что орк косинус некоего значение x равен тета такая запись эквивалентно тому что обратный косинус икс равен тета второй вариант встречается в зарубежных источниках и на калькуляторе и каждый раз когда я вижу приставку арк или обозначение обратной функции я мысленно преобразую такую запись это означает что если я возьму косинус некоего угла тета то получил x оба этих варианта записи означают вот это если я вижу запись обратный косинус икс равен тета я мысленно переформулирую это так какую угол theta нужно взять чтобы его косинус равнялся x давайте теперь рассмотрим конкретный пример представьте что мне нужно найти чему равен арктос янус минус 1 2 он будет равен ника ему углу такой вопрос эквивалентен задачи найти такой угол theta что его косинус будет равняться минус 1 2 в такой формулировке мне самой рассуждать гораздо удобнее давайте изобразим единичную окружность и попробуем ответить на этот вопрос и по определению косинус это x координаты точки на единичной окружности это значит что мы должны найти такой угол что x координаты соответствующей точке должна равняться минус 1 2 минус 1 2 у нас находится примерно вот здесь и нам нужно найти такой угол тета что x координата точки пересечения его луча с единичной окружностью будет равняться минус 1 2 вот и этот угол тета мы должны найти как это сделать например я могу найти вот этот угол а потом чтобы получить это я вычту его и 180 градусов получится угол обозначенный голубым цветом который будет являться ответом на наш вопрос давайте начертим отдельно вот этот треугольник он выглядит примерно вот таким образом длина нижнего катета равна одной второй длина его гипотенузы равна единице надеюсь вы узнали треугольник 30-60-90 тогда по теореме пифагора вы можете найти оставшиеся катит он будет равен корню из 3 пополам хотя давайте проделаем это вместе обозначу второй катет буквы а получается а в квадрате плюс 1 2 в квадрате то есть 1 4 равно единице в квадрате то есть просто одному отсюда а в квадрате равно трем четвертым следовательно а равно корню из 3 пополам мы с вами помним свойства треугольника 30 60 90 если его гипотенуза равна единице то оставшиеся два катета 1 2 и корень из 3 пополам и мы также помним что напротив катета длиной корень из 3 пополам лежит угол 60 градусов вот это у нас прямой угол оставшиеся 30 градусов но нас волнует первый угол мы только что выяснили что он равен 60 градусам чему тогда равен вот этот большой угол тета чему равен угол смежный углу 60 градусов он равен 120 градусам таким образом арккосинус минус 1 2 равен 120 градусам 180 градусов этой весь развернутый угол 180 минус 60 это 120 градусов давайте теперь переведем градусы в радианы умножим 120 градусов на пир и диан на 180 градусов градуса сокращается 12 разделить на 18 это две трети а значит это 2 pin 3 радиан итак ответ 2 pin 3 радиан точно также как видеороликах об арксинусе и арктангенсе вы снова можете возразить косинус угла 2п на 3 радиан действительно равен минус 1 2 давайте запишем косинус угла 2п натрия радиан равен минус 1 2 это запись дает нам у же самую информацию что и вот это но мы же можем и дальше двигаться по единичной окружности например косинус вот такого угла тоже будет равняться минус 1 2 я могу прибавить 2 пи и снова вернуться в эту же точку то есть существует множество углов косинус которых будет равняться минус 1 2 а значит мы должны ограничить диапазон значений которые может принимать арккосинус то есть мы должны ограничить область значений этой функции и математики ограничивают область значения косинуса верхней полуокружности то есть 1 и 2 четвертями то есть если нам дано что ар косинус икс равен тета это значит что это ограничен верхней полуокружности это значит что ты то больше или равно нулю но меньше или равно п в градусах это ноль градусов и 180 градусов мы ограничиваем его значение вот этой верхней полуокружности таким образом ответа может быть только вот эта . поскольку это единственный угол в данном промежутке косинус которого равен минус 1 2 мы не можем взять нижнюю точку потому что она не попадает в область значений а какие значения может принимать x если взять косинус любого угла он будет лежать в диапазоне от минус единицы до единицы следовательно область определения арккосинуса будет вот такой x меньше или равен единице или больше или равен минус единице а теперь давайте проверим наш ответ проверим на калькуляторе действительный ли арккосинус минус 1 2 равен 2 и на 3 посчитаем обратный косинус такая запись означает тоже что орк косинус и так обратный косинус минус 1 2 то есть минус 5 десятых у меня получилась вот такая странная десятичная дробь давайте проверим равна ли она от 2 и на 3 2 умножить на api и разделить на 3 получилось точно такое же число по сути это правильный ответ но я просто посмотрев на него не могу сказать равен ли он 2 и на 3 при помощи единичной окружности мы получили то же число в более удобном виде а теперь давайте ответим еще на один интересный вопрос который касается всех трех новых изученных функций представьте что мы взяли арккосинус от некоего значение x а затем мы взяли косинус от получившегося значения чему равно такое выражение мы знаем что если арку синус x равен ника ему углу тета тогда косинус тета обязан быть равен иксу раз арк косинус икс равен тета мы можем заменить арк косинус икс над это а косинус тета как мы видим равен x значит всё это выражение равняется x надеюсь я вас не запутала я обозначила ар косинус икс буквой т то по определению арккосинуса это значит что косинус тета равен x эти два выражения эквивалентны а значит если мы заменим арк косинус икс над это та косинус тета должен равняться x у а теперь давайте ответим еще на один вопрос чуть более сложный до забыла сказать это выражение будет верно для любого значения x лежащего на промежутке от минус единицы до единицы включая граничные точки это выражение всегда будет верным а теперь подумайте чему будет равен арккосинус косинуса тета так вот в этом случае ответ зависит от угла тета если ты то лежит на отрезке от 0 до пи то есть попадает в диапазон области значений арккосинуса тогда такое выражение равно тета а что если мы возьмем угол тета вне данного отрезка давайте попробуем но сначала посмотрим что будет если это попадет в данный промежуток арккосинус косинуса а в качестве аргумента давайте возьмем какое-нибудь известное нам значение например 2 pin 3 косинус 2 pin 3 равен минус 1 2 то есть получается арккосинус минус 1 2 мы уже выяснили чуть раньше что косинус 2 pin 3 равен минус 1 2 и мы с вами уже ответили на этот вопрос то есть если ты то больше или равно нулю но меньше или равно пи равенство верно все потому что арккосинус может принимать значения только от 0 до пи а теперь давайте подумаем чему будет равен арккосинус косинуса скажем 3 пи для наглядности нарисуем единичную окружность что такое трипе 2 пи это один оборот окружности затем я должна повернуть еще на пи то есть окажусь вот в этой точке то есть я сделала полтора обороты по единичной окружности чему равна x координаты этой точки минус единицы и так косинус 3 пи это минус единица а чему равен r косинус минус единицы как вы помните область значений арккосинуса лежит и в верхней полуокружности он может принимать значения меньше или равны и пи и большие или равные нулю следовательно арк косинус минус единицы будет равняться пи значит все наше выражение равно пи косинус 3 пи равен -1 арккосинус -1 равен пи и это логично поскольку разница между p и тремя пи в одном обороте по единичной окружности в результате можно сказать что мы оказались в эквивалентной точки таким образом вот это выражение может оказаться вам полезным косинус арккосинуса x всегда равен иксу то же самое верно и для синуса синус арксинуса x всегда равен иксу не обязательно запоминать эти выражения потому что вы можете спутать их с нижним выражением запомнить неправильно но достаточно понять почему так происходит и вы никогда их не забудете спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы