If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:10:06

Транскрипция к видео

в прошлом видео мы отвечали на вопрос чему равен арксинус некоего значении x это значит что синус некоего неизвестного угла равен x и мы с вами рассмотрели пару примеров с конкретными значениями кроме того я рассказала вам что иногда вы можете вместо арксинуса встретить запись обратный синус эти две записи означают одно и то же только обратный синус чаще встречается в зарубежных источниках и например на иностранных калькуляторах -1 здесь означает не минус первую степень а обратную функцию то есть синус некоего угла равен x аналогично у вас могут спросить чему равен обратный тангенс икс и вы уже можете сразу догадаться я спрашиваю вас тангенс какого угла равен x а значит я должна выяснить что же это за угол давайте рассмотрим пример представьте что вас опять на уроке спросили чему равен арктангенс минус единицы либо опять же вместо арктангенса вы можете встретить запись обратный тангенс причем зарубежных источниках и на калькуляторе тангенс часто обозначается как than если вы не помните тангенс какого угла равен минус единице вы можете начертить единичную окружность давайте сначала вспомним определение тангенса тангенс угла тета обычный тангенс не обратный равен отношению синуса тета косинуса тета синус тета это y координаты точки на единичной окружности а косинус тета это x координаты точки на единичной окружности давайте теперь изобразим единичную окружность пусть и вот это у меня единичная окружность на ней отложен некий угол тета у этой точке есть координаты x и y мы знаем что y-координата это синус тета а x-координата это косинус тета чему равен тангенс тетта он равен вот этому расстоянию деленному на это расстояние а поскольку наш луч идет от начала координат это соответствует отношению изменений я игрека к изменению значения x таким образом тангенс тетта по сути равняется угловому коэффициенту нашего луча давайте запишем угловой коэффициент это тангенс тетта это пригодится нам для решения нашей задачи давайте еще раз выпишем чему равен обратный тангенс минус единице или что то же самое чему равен арктангенс минус единицы угловой коэффициент какого луча на единичной окружности равняется минус единицы давайте снова изобразим единичную окружность угловой коэффициент какой прямой будет равен минус единица прямая с таким угловым коэффициентом будет идти примерно вот так а вот так пошла бы прямая с коэффициентом плюс единица и так чему равен вот этот угол чтобы угловой коэффициент равнялся минус единицы вот этот отрезок должен равняться вот этому отрезку вот этот угол у нас естественно прямой следовательно вот этот треугольник у нас равнобедренный и углы при гипотенузе у него будут равны а значит перед нами треугольник 45 4590 углы при гипотенузе равнобедренного треугольника равны их сумма должна равняться 90 градусам длинный его катетов нас не интересуют хотя из прошлого видео мы помним что они будут равны корню из двух пополам то есть y координаты этой точки равна минус корню из двух пополам а x координата равна плюс корню из двух пополам по теореме пифагора корень из двух пополам в квадрате плюс корень из двух пополам в квадрате равно единице в квадрате но для нас сейчас важно что углы и у этого треугольника равны 45 45 и 90 градусам то есть если рассмотреть отдельно треугольник угол это в нем будет равняться 45 градусам но поскольку мы движемся по часовой стрелке ниже оси x то такой угол мы считаем равным минус 45 градусам таким образом если считать в градусах то тангенс минус 45 градусов равен отношению минус корня из 2 пополам к корню из 2 пополам то есть минус единица а значит арктангенс минус единице равен минус 45 градусам теперь давайте преобразуем градусы в радианы для этого мы умножим получившиеся значения на пи радиан соответствующие 180 градусам градусы сокращаются 45 и разделить на 180 это 1 4 получается минус пины 4 радиан таким образом арктангенс минус единице равен минус pin 4 или то же самое в зарубежной нотации обратный тангенс минус единице равен минус пин 4 но вы возразите да мы нашли ответ минус pin 4 тангенс такого угла действительно равен минус единице поскольку угловой коэффициент этой прямой равен минус единице но мы же можем и дальше двигаться по окружности прибавив к этому углу 2пи если я прибавлю к получившемуся ответу 2пи тангенс такого угла также будет равен минус единице могу прибавить еще 2 пи и снова получу минус единицу кроме того мы можем взять и вот такую точку тангенс такого угла тоже будет равен минус единице поскольку это тоже прямая с тем же угловым коэффициентом но как я уже говорила в видео об арксинусе функция не может иметь несколько значений обратный тангенс икс не может принимать множество разных значений она не может одновременно равняться минус пины 4 3 pin 4 2 и минус спины 4 4 и минус и на 4 так далее функция не может одновременно принимать множество значений а значит я должна ограничить область значений функции арктангенса так вот для арктангенса область значений ограничивается точно так же как и для арксинуса до 1 и 4 четвертей значит значение арктангенса всегда должна лежать в этом промежутке но не может принимать граничных значений тангенс пи пополам и минус и пополам не определен в этих точках прямая идет вертикально в них x координата равна нулю а значит равен нулю и косинус мы должны разделить синус на 0 а значение такого выражения не определено итак давайте запишем область определения и область значений арктангенса если тангенс это равно x какие значения может принимать x это все возможные значения углового коэффициента прямой а прямая может быть направлены в любую сторону получается что x может принимать любые значения от минус бесконечности до плюс бесконечности то есть x может быть совершенно любым какие значения может принимать угол theta как я уже сказала ты это может принимать любые значения от минус и пополам до плюс и пополам исключая граничные точки в которых прямая становится вертикальной я сейчас рассматриваю обычный тангенс не арктангенс хотя нельзя сказать что область определения тангенса лежит в указанном промежутке к аргументу тангенса как раз можно прибавлять 2пи сколько угодно раз но если я рассматриваю арктангенс то я должна ограничить и возможные значения t то чтобы исключить множественность значений функции тогда для арктангенса это будет строго больше чем минус и пополам и строго меньше чем плюс пи пополам таким образом если я ограничу область значений арктангенса правой полукружности исключая граничные точки тогда я всегда получу строго 1 ответ и если я спрошу тангенс какого угла равен минус единице то ответ будет 13 пины 4 не попадает в указанный промежуток как и любые другие углы получаемые прибавлением или вычитанием 2п и чтобы убедиться что наш ответ верен давайте проверим его на калькуляторе обратный тангенс от минус единице равен вот такому число давайте проверим поровну ли она минус и на 4 минус 1 делить на 4 равно тому же число все верно и хорошо что мы нашли ответ без калькулятора поскольку по десятичной дроби сложно понять что это именно ты на 4 спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы