Тождества с синусом и косинусом, а также их симметрия

давайте поподробнее изучим единичную окружность начнем с некоего угла тета для определенности будем считать что все углы у нас даны в радианах и так вот этот угол мы обозначим тета давайте теперь отразим вот этот луч назовем его конечным лучом угла тета относительно осей x и y давайте отразим этот луч относительно положительного направления оси x для этого мы должны опустить перпендикуляр из точки пересечения луча с окружностью затем отложить точно такое же расстояние и после этого окажемся вот в этой точке и у нас получился вот такой луч чему равен угол между этим лучом и положительным направлением оси x согласно общей договоренности направлении против часовой стрелки считается положительным а здесь мы движемся по часовой стрелке таким образом мы откладываем угол тета не над осью x а под ней а значит согласно общим правилам такой угол будет считаться углом минус тета теперь давайте отразим зеленый луч относительно положительного направления оси y мы точно также опускаем перпендикуляр на ось y и оказываемся по другую сторону от нее в итоге у нас получается вот такой луч чему равна величина вот этого угла в радианах мы знаем что если переместиться от положительного направления оси x до отрицательного такой угол будет равен п радиан am это половина полного оборота поскольку мы отразили луч симметрично то вот этот угол тоже будет равняться ты-то а значит тот угол который нас интересует будет равен пи минус тета обратите внимание вот эти два угла смежные их сумма и минус тета и тета равняется пи радианам или 180 градусам теперь давайте отразим желтый луч относительно отрицательного направления оси x снова опускаем перпендикуляр и оказываемся вот в этой точке у нас получается вот такой угол чему теперь равен вот такой большой угол угол до отрицательного направления оси x равен пи затем мы сдвигаемся еще на ted а то есть мы поворачиваемся на пи и еще над эта таким образом вот этот большой угол равен пи плюс это радио на давайте его подпишем пи плюс тета и так мы построили несколько симметричных лучей и симметричных углов теперь давайте подумаем как связаны значения их синусов и косинусов мы знаем что координаты вот этой точки равны косинус тета синус тета или что то же самое вот это значение на оси x это косинус тета а вот это значение на оси y это синус тета а теперь давайте посмотрим на нижний угол согласно определению тригонометрических функций через единичную окружность поскольку этот угол у нас равен минус тэта координаты вот этой точки будут равны косинус минус тета синус минус тэта аналогично поступим жёлтым лучом x координаты вот этой точки косинус пи минус тета величина этого угла у нас как мы помним и минус тэта значит x координаты этой точки равна косинусу и минус тета а ее y-координата синус пи минус тета наконец рассмотрим последнюю точку надеюсь вы же понимаете к чему все идет x координата этой точки равна косинусу тетта + p или к синусу пи плюс это а y координата равна синусу пи плюс t то теперь давайте подумаем как все эти значения связаны друг с другом обратите внимание справа x-координата обеих точек одинаковы они равны вот этому значению следовательно косинус тета равен косинусу минус тета это очень любопытные свойства а что можно сказать про синусы синусы верхней точке это вот это значение над осью x а синус минус тета это то же самое расстояние и только под осью x следовательно их значение будут противоположны таким образом синус минус тета равен минус синуса тета они противоположны если мы отложим точно такой же угол под осью x мы получим противоположное значение синуса теперь давайте посмотрим как связаны и жёлтые и зелёные углы у них значения синусов будут равны y координаты обеих точек совпадают следовательно синусы соответствующих углов будут равны давайте запишем синус тета равен синусу пи минус тета что можно сказать о косинусов этих углов их косинусы будут противоположными мы откладываем по оси x одинаковое расстояние только в разных направлениях следовательно косинус тета равен минус косинус упи минус тета и наконец рассмотрим последний угол в этой точке косинус будет отрицательным и синус тоже будет отрицательным мы отразили луч относительно обеих осей давайте запишем синус тета плюс и это все равно что и плюс тета равен минус синуса тета это видно на чертеже вот эта . синус тета а вот это синус пи плюс ты-то или синус тета плюс п и аналогично косинус тета плюс п будет равен минус косинуса тета можно продолжить наши рассуждения и сравнить например желтый угол с лиловым затем зеленым и синим получите различные интересные равенство я рекомендую вам проделать это самостоятельно и подумать как связанный все эти углы симметричные друг другу относительно оси x или y спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы