If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:8:35

Нахождение значений тригонометрических функций при помощи формул сложения аргументов

Транскрипция к видео

в этом ролике я собираюсь определить чему равен синус 7 pe деленный на 12 без помощи калькулятора давайте изобразим 7п деленное на 12 на единичной окружности одна сторона угла идет в направлении положительной оси x а если мы пойдем вверх получим поделенные на 2 что равняется 6 п деленное на 12 таким образом у нас еще одной и деленное на 12 мы получаем угол который равен 7 pe деленное на 12 радиан а его симу согласно формуле определения синуса это координаты y в той точке где этот луч пересекает единичную окружность это единичная окружность с радиусом 1 в точке где он пересекает окружность а y координата этой синус другими словами длина этой линии я прошу вас сейчас остановить видео и подумать самим проверьте можете ли вы применить свои знания в тригонометрии чтобы вычислить чему равен синус 7 pe деленного на 12 или другими словами длину этой розовые линии предположим вы попытались и если вы рассуждаете как я то в первую очередь посмотрели бы на этот треугольник который я для вас уже рисовало треугольник выглядит таким образом а это отрезок который мы вычисляем его длина равна синусу 7 и деленное на 12 мы так же знаем что длина гипотенузы равна единице это радиус единичной окружности у нас получился прямоугольный треугольник и нам также известен этот угол который равен этому углу что равно 6 п деленное на 12 то есть у нас еще одно и деленное на 12 тогда этапе деленное на 12 они на 16 нам известно что этот угол равен пи деленное на 12 имея эти данные мы можем по крайней мере соотнести эту сторону к этой стороне используя тригонометрическую функцию по отношению к этому углу это прилежащий катет поэтому косинус пи деленное на 12 будет равен этому катету розового цвета деленному на 1 то есть он равен этому катету или косинус пи деленное на 12 мы только что вычислили что и синус 7 pe деленное на 12 это то же что и косинус при деленное на 12 но это никак мне не упрощает решение без помощи калькулятора я не могу вычислить чему равен косинус пи деленное на 12 радиан давайте пойдем другим путем и посмотрим удастся ли нам составить этот угол или разложить его на несколько углов для которых мы знаем синус и косинус какими же будут эти углы это углы особых прямоугольных треугольников например мы хорошо знакомы с треугольником 30 на 60 на 90 он выглядит вот так я изо всех сил стараюсь его начертить вместо угла 30 градусов я изображу уголка kpi деленное на 6 радиан угол 60 градусов я запишу как пи деленные на 3 радио на а здесь конечно прямой угол и если гипотенуза равна единице тогда катет противолежащий катет у 30 градусов или пи деленный на 6 radiant будет равен половине гипотенузы которые в данном случае равна одной второй другой катет противолежащий катет у 60 градусов или пи деленное на 3 радиан равен квадратному корню из трёх умноженные на коробке котят то есть корень из 3 деленное на два нам уже довелось использовать такие треугольники для вычисления синуса или косинуса 30 или 60 или как в данном случае поделенные на 6 лепи деленные на 3 мы знаем что такое пи деленное на 6 и на 3 нам также известно треугольники 45 на 45 на 90 мы знаем что это равнобедренный прямоугольный треугольник он выглядит вот так я постараюсь изобразить его он вообще-то не похож на равнобедренный поэтому давайте исправим а сейчас это равнобедренный прямоугольный треугольник нам известно что если длина гипотенузы равна единице то по теореме пифагора длина каждого из катетов будет равна квадратному корню из 2 делённому на 2 умноженное на гипотенузу что в данном случае равняется корню из 2 делить на 2 вместо того чтобы работать с углами 45 градусов мы представим их как пи деленной на 4 региона и так если взять и деленные на 6 на 3 на 4 можно использовать эти два треугольника и применить классический метод определения тригонометрических функций либо наложить их на единичную окружность и с ее помощью определить тригонометрические функции для синуса и косинуса или тангенса этих углов можем ли мы разложить 7 при деленное на 12 на комбинацию п деленное на 6 деленное на 3 или пи деленное на 4 попробуем представить и деленное на 6 на 3 на 4 как дробь со знаменателем 12 теперь запишем пи деленное на 6 равно двум и деленное на 12 и деленное на 3 равно 4 и деленное на 12 и деленный на 4 равно 3 деленное на 12 и так два плюс четыре не равно 7 2 плюс 3 не равно 7 но 4 плюс 3 равняется 7 поэтому я могу использовать это и это 4 пи деленное на 12 плюс 3 пи деленное на 12 равно 7 pe деленное на 12 можно переписать это то же самое что и синус 3 п деленное на 12 плюс 4 п деленное на 12 и это конечно равняется синусу пи деленное на 4 выделим другим цветом синус п деленное на 4 + пи деленное на 3 сейчас можно применить формулу двойного угла синуса для того чтобы записать это как сумма произведений косинусов и синусов этих углов давайте сделаем это и так это будет равно синусу пи деленное на 4 умножить на косинус п деленное на 3 плюс тоже в обратном порядке косинус п деленное на 4 умножить на синус п деленное на 3 теперь нам осталось вычислить это и у меня уже есть для этого треугольники чему равен синус пи деленное на 4 итак этапе деленное на 4 а синус равен прилежащему катету деленному на гипотенузу и это будет равно квадратному корню из 2 деленное на 2 итак это корень из 2 деленное на 2 чему равен косинус пи деленное на 3 пи деленное на 3 радио на это вот этот угол косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе то есть это прилежащая сторона делённая на гипотенузу или 1 2 чему равен косинус пи деленное на 4 вернемся к пи деленное на 4 это прилежащая сторона к гипотенузе то есть корень из 2 деленное на 2 и это также квадратный корень из 2 деленное на 2 и чему равен синус пи деленное на 3 синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе или корень из 3 деленное на два поделить на один что равно корню из трёх делённому на 2 и теперь нам нужно упростить это все это будет равняться сумме этих произведений или корень из 2 деленное на 4 плюс сумма этих произведений можно записать это как квадратный корень из 6 деленное на 4 или можно переписать все это как здесь мы заслужили барабанную дробь это равняется это равняется корню из 2 плюс корень и 6 и все это деленное на 4 это то чему равняется синус 7 п деленное на 12 или косинус 7 pe деленное на 12