Доказательство формул суммы аргументов косинуса

в нашем последнем видео мы доказали формулу двойного угла синуса а в этом видео я бы хотела доказать формулу двойного угла для косинуса а в частности то что косинус x плюс y x плюс y равен косинусу x косинусу y минус синус x минус y я воспользуюсь похожий техникой какую мы уже применили для синуса поэтому я попрошу вас остановить видео сейчас или в любой момент когда вам захочется чтобы посмотреть получится ли у вас это самостоятельно также как мы сделали это для синуса давайте вычислим косинус x плюс y на этой схеме x плюс y это данный угол давайте найдем в прямоугольном треугольнике обивку синус x плюс y косинус это прилежащий гипотенузе отрезок ав разделенный на гипотенузу и так как гипотенуза равна единице tao of разделить на 1 будет а.ф. итак косинус x плюс y равен длине отрезка это значит он равен длине сегмента а.ф. то есть это значение равно этому давайте это запишем скопируем и вставим то есть длина отрезка ав равна косинусу x плюс y давайте подумаем как мы можем ее получить и для этого мы обратимся к другим прямоугольным треугольником в данной схеме чтобы вычислить это и длину отрезка а.ф. давайте запишем это или то же самое что и а.ф. равно длине отрезка а.б. то есть весь этот отрезок минус длина отрезка fb то есть минус вот этот отрезок исходя из того как выглядит наша формула двойного угла косинуса мы могли предположить чему будет равняться абэ и fb если мы сможем доказать что а b равно этому а также что fb равно этому мы найдем решение потому что нам известно что косинус икс плюс игрек равный а.ф. также равен a b минус fb или если мы сможем доказать что это равно этому минус это давайте подумаем чем является все эти значения что такое а.б. рассмотрим прямоугольный треугольник от cb в предыдущем ролике мы узнали что так как гипотенуза треугольника adb равна единице а отца и равен косинусу x то давайте подумаем чему равен отрезок а.б. а.б. это прилегающая сторона угла y или можно сказать что косинус давайте запишем здесь можно сказать что косинус y равен своему прилежащему катету эта длина его прилежащего катета то есть отрезок ab и делённой на гипотенузу или косинус икс или можно умножить обе стороны на косинус икс получается что отрезок а бы равен косинусу x умноженному на косинус y и это именно то что мы должны доказать мы только что доказали что длина отрезка а b на самом деле равна косинусу x умноженному на косинус y то есть это значение равно косинус x умножить на косинус y осталось только доказать что отрезок ef b равен синусу x на синус y этот отрезок кажется немного странным так как он не является частью какого-либо прямоугольного треугольника в котором нам известны размеры углов но в этой схеме видно что ее cbf это прямоугольник этот факт мы использовали и в доказательстве формулой двойного угла синуса мы сейчас им воспользуемся так как он подсказывает нам что fb равен е ц но чему же равен е ц в этом нам поможет угол y давайте посмотрим эта сторона противолежит углу y поэтому можно воспользоваться синусом нам известно что и синус y мы смотрим прямо сюда равен длине противолежащего катета или длине отрезка е ц деленный на гипотенузу которая равна синусу x мы выяснили это в прошлом ролике если это x то противолежащая сторона делённая на гипотенузу равна синусу x так как гипотенузы равна единице то противолежащий катет равен синусу x здесь мы умножим обе стороны на синус x и мы получим то что искали я c равен синусу x умноженному на синус y повторяю яйц и это то же самое что отрезок fb у них одинаковая длина итак мы только что показали что отрезок и в b равен синусу x умножить на синус y или это равно вот этому повторим ещё раз косинус икс плюс игрек равный отрезку ef также равен длине отрезка а b минус длина отрезка fb что равняется тому что мы доказали длина отрезка а b равна косинусу x косинусу y минус длина отрезка fb или синус и косинус y и мы закончили