Доказательство формул суммы аргументов синуса

в этом видео мы попробуем доказать формулу вспомогательному угла синуса а именно мы докажем что синус x плюс y x плюс y равен синусу x умноженному на косинус я забыла здесь x синус x умножить на косинус y + косинус x умножить на синус y и это я сделаю с помощью такой диаграммы посмотрите на этот прямоугольный треугольник красного цвета в этом треугольнике гипотенуза равна единице назовем это треугольник а dc он располагается поверх другого треугольника и его основание является гипотенузой треугольника от cd его я покрашу синим цветом как и его угол размер которого отмечен как y таким образом основание треугольника а dc эта сторона акции которая также является гипотенузой треугольника a b c они как будто сложные друг на друга мы начнем с того что подумаем чему будет равняться синус x плюс y x плюс y это весь угол и если мы посмотрим на прямоугольный треугольник а д э поймем что синус этого угла равен противолежащему катету деленному на гипотенузу так как его гипотенуза равна единице синус этого угла будет равен противолежащему катету деленному на единицу а синус этого угла или синус x плюс y равен длине этого противолежащего катета и так синус x плюс y будет равняться длине отрезка д.ф. далее я попытаюсь выяснить длину сегмента d f так как это и есть основная цель этого расчета но мы можем разбить длину отрезка df еще на два отрезка мы разделим его на длину отрезка д е и длину отрезка е.ф. можно сказать что df равняется синусу и x + y как как это фактически то же самое то есть длина отрезка d f равна отрезку т.е. плюс длина отрезка е.ф. длина отрезка е.ф. естественно равна длине отрезка cb cb rf образуют прямоугольник поэтому е и f равен cb поэтому это все будет равняться дым вот этому отрезку то есть длина отрезка ds плюс длина отрезка cb еще раз повторю что синус x плюс y является длиной отрезка д.ф. которые в свою очередь делится на отрезке дыре и cb могу дать подсказку и навести вас на мысль о том что именно означает длина отрезка дэй с точки зрения x и y синуса и косинуса а также что означает длина отрезка cb с точки зрения x и y синуса и косинуса попробуйте найти об этом все что можно и эти два отрезка просто могут выпасть из условия предположим что вы обо всем догадались итак нам известно что и синус x плюс y можно выразить таким образом посмотрим если нам удастся решить это уравнение и я начну с определение длин как можно больших отрезков насколько это возможно обратимся к верхнему треугольнику красного цвета если его гипотенуза равна единице тогда чему равна длина отрезка dc он является противолежащим катетом угла yxz поэтому мы знаем что синус x равен dc поделенному на 1а dc делить на 1 это dc и так длина этой стороны равна синусу x тот же принцип мы применим и к отрезку ас и косинус икс равен длине от и деленной на единицу что равняется длине отцы итак длина этого отрезка или отрезка от c равна косинусу x а это уже интересно а теперь давайте посмотрим что мы можем сказать о треугольнике а cb находящемуся вот здесь как можно вычислить длину cb нам известно что синус угла и y давайте запишем синус y равен длине отрезка cb деленный на гипотенузу и гипотенуза в нем равна косинусу x и я думаю вы уже догадались к чему это все ведет в любом случае если вам интересно поставьте видео на паузу и попробуйте закончить доказательства самостоятельно итак длина отрезка cb если мы умножим обе стороны на косинус икс то длина отрезка c и b будет равна косинусу x умножить на синус y косинус x умножить на синус y это точный расчет так как мы показали что это значение равно этому значению но для того чтобы завершить наши доказательства нам нужно показать что также и это значение равно этому значению если одну равно другому тогда мы знаем что сумма этих значений равна длине отрезка д.ф. который равен синусу x плюс y давайте посмотрим если у нас получится по-другому выразить отрезок д.ф. какой же угол нам бы в этом помог если бы мы только могли вычислить этот угол верху или может этот угол если нам удастся вычислить этот угол когда отрезок dе е мы сможем выразить виде этого угла и синусы x давайте попробуем вычислить этот угол мы знаем что это угол y и нам известно что это прямой угол значит отрезок fc параллелен отрезку а.б. поэтому отцы будет секущей линии если это угол y тогда и этот угол тоже будет углом y а теперь внимание если акции является секущей линии а я c eгo b параллельны тогда если это угол y то и это угол y если это угол y то это равно 90 минус y и если это угол 90 градусов а этот 90 минус y то эти два смежных угла составляет 180 минус y и если все три угла составляют 180 градусов то этот угол верху должен равняться y проверим y + 90 минус y + 90 равно 180 градусам и это нам очень поможет так как теперь мы можем выразить отрезок d и е в виде y и синусы x что значит да и и по отношению к y это прилежащий угол поэтому можно применить функцию косинуса нам известно что косинус угла y если посмотреть на треугольник dietz это косинус угла и y равен отрезку да и деленному на гипотенузу или синус x и вы должно быть в восторге потому что мы только что показали что если умножить все катит и на синус x у нас получится бы е равно синусу x умноженному на косинус y то есть мы доказали что это значение равно этому мы уже видели что c и b равен этому таким образом сумма беее cb которая равна сумме бе-е и е.ф. это синус x плюс y который равняются этому и мы закончили мы доказали формулу двойного угла синуса