Повторение формул сложения аргументов

я уже когда ты посвятил и несколько видеороликов тригонометрическим формулам в этом видео я хочу повторить все эти формулы и так какие формулы мы с вами сегодня повторим я буду считать что вы с ними уже знакомы поскольку я уже о них рассказывал а кроме того их полезно запомнить или знать как они выводятся речь пойдет о следующих формулах синус х плюс b равен синусу а умноженному на косинус b плюс синус b умножить на косинус а давайте теперь подумаем чему будет равен синус х плюс запишем так минус c фактически это тоже что а минус c мы можем воспользоваться предыдущий формулой и у нас получится синус а умножить на косинус минус c плюс синус минус х умножить на косинус а я предположу что вы так же знаете что косинус минус c равен косинус отце косинус это четная функция вы можете убедиться в этом взглянув на график косинуса или на единичную окружность а синус нечетная функция это значит что синус минус c равен минус синус у c воспользуемся этой информацией чтобы преобразовать вторую строчку получится синус х минус c равно синус а умножить на косинус c поскольку косинус минус t равен просто косинуса c а дальше вместо синуса минус c я могу записать минус синус c и так минус синус c умножить на косинус а можно сказать что мы как бы доказали вот это тождество зная вот эти формулы дальше я при помощи всего того что мы тут вспомнили докажу еще несколько формул кроме того мы знаем что косинус х плюс b равен косинусу а в этом случае у нас косинуса и синуса не смешиваются косинус а умножить на косинус b минус синус а умножить на синус б а теперь давайте подумаем чему равен косинус х минус b мы снова воспользуемся теми же свой момент косинус минус b это тоже что косинус а б а значит здесь будет косинус а умножить на косинус б потому что косинус минус b равен косинусу б а дальше у нас будет минус минус b который равен минус синус и b минус на минус даёт плюс значит здесь будет плюс синус а умножить на синус б здесь не совсем очевидный момент когда у косинус и плюс здесь будет минус а когда у косинуса минус здесь будет плюс с этим разобрались не буду подробно останавливаться нам нужно разобрать ещё много формул чему будет равен скажем косинус 2а косинус 2а это тоже что косинус х плюс а и теперь мы можем воспользоваться вот этой формулой подставив вместо b вторую а получится косинус а умножить на косинус а минус синус а умножить на синус а в этом случае у меня б тоже равно а это выражение можно переписать так косинус квадрат а эту косинус а умноженный сам на себя минус синус квадрат а у нас получилось еще одна формула косинус 2а равен косинусу квадрат а минус синус квадрат а давайте обведу в рамку формула которые я вывожу в этом видео вот такую формулу мы выявили а теперь представьте что я хочу выразить косинус 2а только через косинус и для этого мы можем воспользоваться так называемым основным тригонометрическим тождеством вытекающим из определения функции через единичную окружность она гласит синус квадрат плюс косинус квадрат х равно единице можно его переписать следующим образом синус квадрат х равен единице минус косинус квадрат а а теперь мы можем подставить это выражение вместо квадрата косинуса тогда здесь получится косинус квадрат а минус синус квадрат а но синус квадрат а равен вот этому выражению получается минус единица минус косинус квадрат а это выражение я подставила вместо квадрата синуса это все равно косинус квадрат а минус единица плюс косинус квадрат а продолжим преобразование косинус квадрат х плюс еще косинус квадрат а это 2 косинуса квадрат а и остается минус единица всё это равно косинусу 2а а что если я захочу выразить косинус квадрат а через косинус 2а хотя давайте сначала тоже обведем это тождество в рамку если прибавить единицу к обеим частям равенства получится 2 косинуса квадрат а равно к синуса 2х плюс 1 разделив обе части на 2 получим косинус квадрат а равен одной второй а слагаемые с правой части поменяю местами скобках будет единица плюс косинус 2а готова мы получили еще одно тождества иногда его называют формулой понижения степени а если мы хотим как-то выразить квадрат косинуса мы можем вернуться вот к этой формуле из основного тригонометрического тождества следует что синус квадрат равен единице минус косинус квадрат а но мы можем поступить наоборот вычесть синус квадрат из обеих частей тогда у нас получится косинус квадрат а равен единице минус синус квадрат а и мы можем вернуться к формуле двойного аргумента косинуса и заменить в нем косинус квадрат получится косинус 2а равен а дальше вместо квадрата косинуса подставим вот это выражение справа получится единица минус синус квадрат а минусы еще синус квадрат а чему теперь будет равен косинус 2а справа у нас минус синус квадрат а минус еще синус квадрат а получается единица минус 2 синуса квадрат а и вот у нас получилось еще одно тождества это ещё один способ выразить косинус 2а как видим о синус 2а можно выразить по-разному а если мы теперь хотим выразить отсюда синус квадрат а мы можем прибавить его к обеим частям равенства запишу вот здесь для экономии места если я прибавлю к обеим частям равенства 2 синуса квадрат а получится 2 синуса квадрат х + косинус 2а равно единица вычтем из обеих частей косинус 2а получится 2 синуса квадрат а равно единице минус косинус 2а теперь разделим обе части на 2 слева останется синус квадрат а а справа 1 2 умножить на единицу минус косинус 2а мы сделали еще одно открытие и мне всегда нравится находить симметрию формула для квадрата косинуса точно такая же только у квадрата косинуса перед косинусом 2а стоит плюс а у квадрата синуса минус и так мы уже обнаружили много интересных свойств давайте теперь посмотрим сможем ли мы что-то сделать синусом 2 а чему равен синус 2а это все равно что синус х плюс а и это будет равняться синусу а умноженному на косинус 2 а я использую формулу синуса a + b где вместо b 2 а и так плюс синус 2 а умножить на косинус 1 а как видите я дважды написала одно и то же то есть это всё равно двум синусом а умноженным на косинус а получилось даже чуть попроще синус 2а равен вот такому выражению это еще один интересный результат итак я надеюсь что это видео было для вас полезным напоминанием потому что для меня это точно было полезно и напоминание можете выписать все эти тождества и запомнить их при желании но на мой взгляд гораздо важнее уметь их выводить из первоначальных форму суммы аргументов спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы