If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Доказательство теоремы косинусов

Показываем простое доказательство теоремы косинусов. Создатели: Сэл Хан.

Хотите присоединиться к обсуждению?

Пока нет ни одной записи.
Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.

Транскрипция к видео

в этом видео я хотела бы рассмотреть еще один пример с использованием теоремы косинусов мы уже работали с этой теоремой но я хотел бы обратить ваше внимание на некоторые моменты которые я считаю важными давайте вспомним что представляет собой теорема косинусов и так у нас есть треугольник предположим что я знаю этот угол тета а эту сторону мы назовем б в общем это не так уж и важно каждую сторону треугольника я изобразила разными цветами и обозначение сторон я буду писать этими же цветами и так эту сторону мы назовем c а последнего а если бы это был прямоугольный треугольник то мы могли бы использовать теорему пифагора но поскольку это какой-то произвольный треугольник то к сожалению теорему пифагора нам не поможет так что же нам делать предположим что мы знаем b&c угол theta ii хотим найти сторону а так вот если вы знаете две стороны и угол между ними в произвольном треугольники вы сможете вычислить значение 3 стороны с помощью теоремы косинусов как это сделать начнем с того что проведем линию перпендикулярную данной стране получилось что наш исходный треугольник разбит на два прямоугольных треугольника теперь я могу использовать тригонометрические функции и теорему пифагора и так давайте посмотрим на тот прямоугольный треугольник который больше этой стороны c теперь является катетом прилежащим к углу тета а сторона b будет гипотенузой прямоугольного треугольника чему равна длина этого катета прилежащего к углу тета думаю для решения нам потребуются тригонометрические функции давайте освежим их в памяти синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе то есть вот этого отрезка к гипотенузе косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе как раз то что нам нужно тогда косинус тета в этом треугольнике обозначим этот катет за d равен d поделить на б нам известны чему равно b верно мы можем выразить д это b умножить на косинус тета теперь рассмотрим второй треугольник давайте оставшийся часть стороны c обозначим за и тогда страна е равняется 7 минус d мы знаем чему равен катет д поэтому сторона е равна c минус b косинус тета что происходит с общим катит им этих прямоугольных треугольников назовем его м это катет противолежащий углу тета отношении мкб это отношение противолежащего катета к гипотенузе в какой тригонометрической функцией встречается такое отношение синус угла в данном случае синус угла тета теперь мы знаем чему равно m & m поэтому осталось найти сторону а я уверен и сейчас вы сами все поймете у нас есть две стороны прямоугольного треугольника два катета м ы е нужно найти гипотенузу и для решения нам понадобится и теорема пифагора которая гласит что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов m в квадрате плюс b в квадрате и верно давайте подставим известные нам значение и посчитаем раскроем скобки в последнем выражением и так у нас получается b в квадрате умножить на синус квадрат тета плюс z в квадрате минус 2 bc косинус тета плюс b в квадрате умножить на косинус квадрат тета посмотрим можно ли упростить если мы вынесем b в квадрате за скобки для этих двух слагаемых у нас в скобках останется синус квадрат тета плюс косинус квадрат тета плюс c в квадрате минус 2b цена косинус угла тета я совершенно уверена что вы узнали этот закон сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице эта скобка равна единице поэтому все вместе дает нам b в квадрате и еще у нас есть c в квадрате минус 2 bc на косинус угла тета получилось довольно компактное уравнения которые называется теоремой косинусов этой теоремы часто применяется на практике потому что если вы знаете о голы две стороны любого треугольника то сможете найти оставшуюся сторону или если вы знаете все три стороны треугольника тогда можно найти любой угол разумеется для экзамена вам лучше просто запомнить эту формулу новые вести и было не так уж и сложно спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить