Нахождение неизвестного угла при помощи теоремы косинусов

допустим вы геолог или геодезист и хотите произвести измерения для небольшого холма или горки как на этом рисунке вы знаете что от этой точки до этой основании этой возвышенности равно 60 метров длина более крутого склона от вершины до основания составляет 20 метров а более пологий склон от самой высокой точки до основания холма имеет длину 50 метров вы можете измерить это на местности и теперь вы можете использовать свои познания в тригонометрии чтобы выяснить насколько крутой склон с этой стороны холма каков угол наклона этой поверхности относительно уровня земли мы можем назвать этот угол тета и нам нужно вычислить чему он равен я еще раз повторю вы знаете длинный всех трех сторон и вам нужно найти угол при основании думаю для решения нам понадобится теорему косинусов давайте я напишу здесь соответствующие уравнения теорема косинусов гласит что для плоского треугольника со сторонами a b c и углом тета противолежащим стороне c справедливо соотношение квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведения этих сторон на косинус угла между ними чтобы было легче понять эту теорему я нарисовала произвольный треугольник если это угол тета та сторона ция эта сторона напротив угла тета и тогда а и b могут быть любой из этих сторон сверху может быть а а снизу b и наоборот в нашей формуле стороны а и b равносильны но сторона ци привязаны к углу тета поскольку она должна быть напротив этого угла итак мы хотим выяснить чему равен угол тэта в нашем примере с холмом стара нация должна быть напротив угла то есть она будет равна 20 метров давайте за сторону а возьмем длинный пологий склон длиной 50 метров а.б. основание длиной 60 метров и теперь мы просто воспользуемся теоремой косинусов и так получается 20 в квадрате равно 50 в квадрате плюс 60 в квадрате минус 2 умножить на 50 умножить на 60 и умножить на косинус тета у нас есть почти все значения переменных в этом уравнении здесь только одно неизвестное угол тета давайте посмотрим сможем ли мы решить это уравнение и так 20 в квадрате это 450 в квадрате это 2560 в квадрате будет 3600 далее 2 умножить на 50 это 100 умножить на 60 будет 6000 мы немного упростим наше выражение у нас получилось следующее уравнение 400 равно 2500 + 3600 и это в сумме дает 6100 далее минус 6 тысяч умножить на косинус тета теперь мы можем вычесть 6 тысяч 100 из обеих частей уравнения итак справа у нас получится минус пять тысяч семьсот в левой части 6100 и 6100 сокращаются далее пишем минус 6 тысяч умножить на косинус тета теперь можем разделить обе стороны на минус шесть тысяч у нас получится косинус тета равный минус пять тысяч семьсот разделить на минус шесть тысяч мы могли бы разделить числитель и знаменатель на минус то так что и числитель и знаменатель оба станут положительными таким образом косинус тета равен 50 7 разделить на 60 оба эти числа делятся на 3 итак косинус тета равен девятнадцать двадцатых но мы могли бы не упрощать это выражение потому что для вычислений нам все равно понадобится калькулятор и так нам нужно вычислить арккосинус от 19 и 20 итак мы получили 18,19 градуса обратите внимание что калькулятор может быть переключен на градус и они на радианы если бы мы хотели округлить этот результат до ближайшей 10 то это бы примерно равнялось 18,2 градусом кажется у этого холма достаточно крутой склон спасибо что вы подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить