Тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках

давайте рассмотрим еще несколько примеров чтобы лучше разобраться в тригонометрических функциях и ещё раз хочу подчеркнуть данные мной определения тригонометрических функций верны только для прямоугольных треугольников итак допустим у нас есть прямоугольный треугольник нижней котят которого равен 7 а правый катет 4 давайте обозначим длину гипотенузы и за аж и вычислим ее длину мы знаем что h в квадрате равняется 7 в квадрате плюс четыре в квадрате и это следует из теоремы пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов у нас получается 49 плюс 16 квадрат длины гипотенузы h в квадрате равен 65 и если извлечь квадратный корень из обеих частей равенства длина гипотенузы получится равный корню и 65 и этот корень никак не упростить 65 это 13 умножить на 5 ничто из этого не является полным квадратом это простые числа значит корень и 65 никак не упрощается и так длина гипотенузы корень квадратный из 65 а теперь давайте вычислим значения тригонометрических функций вот для этого угла обозначим этот угол буквой т то и давайте для начала найдем косинус этого угла к синус это отношение прилежащего катета к гипотенузе посмотрим на чертеж какой катет будет прилежащим для угла тета это у нас гипотенуза а значит прилежащим катетом будет правая сторона длиной 4 а в знаменателе длина гипотенузы мы ее уже нашли она равна корню квадратному из 65 и математики сразу пытаются избавиться от иррациональности в знаменателе они не любят когда в знаменателе стоит корень для этого мы умножим числитель и знаменатель на корень из шестидесяти пяти значение числа от этого не изменится мы числитель и знаменатель умножаем на одно и то же число то есть по сути умножаем на единицу в числителе будет 4 корня и 65 а в знаменателе корень и 65 на корень и 65 это просто 65 давайте найдем значения других тригонометрических функций хотя бы основных из них позже мы ещё узнаем что и гораздо больше но они выводятся из этих и найдем чему равен синус тета синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе какой катет будет противолежащим для данного угла напротив этого угла лежит катет длиной 7 а длина гипотенузы корень и 65 и снова чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель и знаменатель на корень и 65 в числителе получится 7 корней 65 а в знаменателе снова просто 65 теперь давайте найдём тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему какой катет будет для этого угла противолежащим мы уже выяснили что напротив этого угла лежит катет длиной 7 а какой катет прилежащий вот этот длиной 4 получается 7 четвертых вот и все мы нашли значение всех основных тригонометрических функций для угла тета давайте рассмотрим ещё один пример изобразим прямоугольный треугольник пусть длина его гипотенуза равняется четырем длина этого катета будет 2 и длина оставшегося катета два корня из трёх мы можем проверить по теореме пифагора что числа сходятся 2 корня из 3 в квадрате плюс 2 в квадрате чему это равно 2 корня из 3 в квадрате это 4 умножить на 3 2 в квадрате это 4 на дцать плюс 4 равно 16 16 это 4 в квадрате все сходится и если вы помните отношение сторон в треугольнике 30 60 90 вы сразу узнаете такой треугольник вот этот угол в нем 90 градусов величина вот этого угла у нас будет 30 градусов величина верхнего угла 60 градусов катит напротив угла в 30 градусов вдвое меньше гипотенузы окатит напротив угла в 60 градусов в корень из трёх раз больше 2 кати то считайте что я напомнила вам свойства треугольников с углами 30 60 и 90 градусов теперь давайте вычислим тригонометрические функции для разных углов итак представьте что вас спрашивают чему равен синус угла 30 градусов в этом треугольнике один из углов равен 30 градусам но значение синуса будет таким же для любого другого прямоугольного треугольника с углом 30 градусов потом я вам расскажу более общее определение синуса но сейчас пока давайте найдем его через длинный сторон синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе вот он катет противолежащий углу в 30 градусов его длина равна двум а в знаменателе будет гипотенуза ее длина 4 получилось 2 четвертых то есть 1 2 синус 30 градусов всегда будет равен 1 2 теперь давайте найдем косинус 30 градусов опять же вспоминаем определение косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе для угла в 30 градусов вот этот нижний катит будет прилежащим упростим выражение и разделим числитель и знаменатель на два получится корень из 3 пополам наконец давайте найдём тангенс тангенс угла 30 градусов равен отношению противолежащего катета к прилежащему напротив угла в 30 градусов лежит катет который равен двум а прилежащий к нему катит 2 корня из 3 двойки сокращаются остается единица на корень из 3 умножим числитель знаменатель на корень из 3 числителе получается корень из 3ab знаменателя просто 3 мы избавились от иррациональности в знаменателе теперь давайте найдем значение этих функций для угла 60 градусов раз уж мы его обозначили чему равен синус 60 градусов вы наверное уже сами догадались это отношение противолежащего катета к гипотенузе какой катет лежит напротив угла 60 градусов катит который равен двум корням из трёх отношение противолежащего катета к гипотенузе двойку сократим остается корень из 3 пополам чему равен косинус 60 градусов косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе прилежащий к этому углу катет равен двум делим на гипотенузу на 4 получается 1 2 и наконец чему равен тангенс тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему напротив угла 60 градусов и лежит катет два корня из трёх а прилежащий к нему катет равен двум двойка сокращается остаются просто корень из 3 и обратите внимание на связь синус 30 градусов равен косинусу 60 градусов косинус 30 градусов равен синусу 60 градусов а тангенс и обратный друг другу если вы внимательно посмотрите на треугольник то вы поймете почему так в следующих видео мы рассмотрим еще несколько примеров спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить