Основное содержание

Тригонометрия

Course: Тригонометрия > Модуль 1

Урок 7: Обратные тригонометрические соотношения

Обратные тригонометрические соотношения

В этом видео вы узнаете, что косеканс, секанс и котангенс — это соотношения, обратные базовым — синусу, косинусу и тангенсу.

Мы уже изучили основные тригонометрические отношения:

Но кроме них можно составить ещё три отношения:

Вместо start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, мы можем рассмотреть start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Вместо start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, мы можем рассмотреть start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
Вместо start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, мы можем рассмотреть start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.

Эти отношения называются обратными тригонометрическими отношениями, и у них есть свои названия.

Косеканс left parenthesis, c, o, s, e, c, right parenthesis

Косеканс — это отношение, обратное синусу. Это отношение гипотенузы к противолежащему относительно угла катету в прямоугольном треугольнике.

sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

c, o, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Секанс left parenthesis, \sec, right parenthesis

Секанс — это отношение, обратное косинусу. Это отношение гипотенузы к прилежащему к углу катету в прямоугольном треугольнике.

cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction

\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, г, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

Котангенс left parenthesis, c, t, g, right parenthesis

Котангенс — это отношение, обратное тангенсу. Это отношение прилежащего катета к противолежащему катету для угла в прямоугольном треугольнике.

t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

c, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, п, р, о, т, и, в, о, л, е, ж, а, щ, и, й, space, к, а, т, е, т, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Как это всё запомнить?

Многим проще запомнить эти отношения в связке с обратными отношениями. Эти данные сведены в приведённую ниже таблицу.

Название	Математическое описание
косеканс	Косеканс — это отношение, обратное синусу.	c, o, s, e, c, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
секанс	Секанс — это отношение, обратное косинусу.	\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
котангенс	Котангенс — это отношение, обратное тангенсу.	c, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, t, g, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Нахождение обратных тригонометрических соотношений

Давайте разберём пример.

Найдите в треугольнике ниже c, o, s, e, c, left parenthesis, C, right parenthesis, s, e, c, left parenthesis, C, right parenthesis и c, t, g, left parenthesis, C, right parenthesis.

Решение

Нахождение косеканса

Мы знаем, что косеканс — это отношение, обратное синусу.

Поскольку синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косеканс — это отношение гипотенузы к противолежащему катету.

\begin{aligned}\operatorname{cоsеc}(C) &= \dfrac{\purpleC{\text{гипотенуза}}} {\blueD{\text{ противолежащий катет}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}

Нахождение секанса

Мы знаем, что секанс — это отношение, обратное косинусу.

Поскольку косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, секанс — это отношение гипотенузы к прилежащему катету.

\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{гипотенуза}}}{\maroonC{\text{прилежащий катет}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}

Нахождение котангенса

Мы знаем, что котангенс — это отношение, обратное тангенсу.

Поскольку тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

\begin{aligned}\operatorname{ctg}(C) &= \dfrac{\maroonC{\text{прилежащий}}}{\blueD{\text{противолежащий катет}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

[Покажите, пожалуйста, другие примеры.]

Попробуйте решить самостоятельно!

Задача 1

c, o, s, e, c, left parenthesis, X, right parenthesis, equals

Задача 2

\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals

Задача 3

c, t, g, left parenthesis, R, right parenthesis, equals

Задача

Чему точно равен c, o, s, e, c, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Сортировать по:

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Пока нет ни одной записи.

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.