Синус и косинус дополнительных углов

Мы хотим доказать, что синус угла равен косинусу дополнительного угла.

Начнём с прямоугольного треугольника. Обратите внимание, что острые углы — дополнительные друг другу, их сумма составляет 90$^\circ$degrees

А теперь — самое классное. Заметили, что синус одного острого угла

описывает $\blueD{\text{то же самое отношение}}$start color #11accd, start text, т, о, space, ж, е, space, с, а, м, о, е, space, о, т, н, о, ш, е, н, и, е, end text, end color #11accd, что и косинус другого острого угла?

Невероятно! Обе функции, $\sin(\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis и $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis в прямоугольном треугольнике возвращают одинаковое значение!

На этом всё! Мы показали, что $\sin(\theta) = \cos(90^\circ-\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Иными словами, синус угла равен косинусу дополнительного ему угла.

Формально мы доказали это утверждение только для углов от 0$^\circ$degrees до 90$^\circ$degrees. Чтобы наше доказательство было верным для всех углов, нам придётся выйти за рамки тригонометрии прямоугольного треугольника и перейти к единичной окружности, но эту задачу мы рассмотрим в другой раз.

Вы, наверное, заметили, что слова «синус» и «косинус» очень похожи. Всё потому, что это — кофункции! Выше вы увидели, как устроены кофункции. В общем случае, если $f$f и $g$g — кофункции, то

и

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

Ниже приведён полный список тригонометрических кофункций:

Отлично! Тот, кто придумывал названия для тригонометрических функций, отлично понимал, как они соотносятся друг с другом.