Синус и косинус дополнительных углов

Мы хотим доказать, что синус угла равен косинусу дополнительного угла.

Начнём с прямоугольного треугольника. Обратите внимание, что острые углы — дополнительные друг другу, их сумма составляет 90${}^{\circ }$‍

А теперь — самое классное. Заметили, что синус одного острого угла

описывает $\text{то же самое отношение}$‍, что и косинус другого острого угла?

Невероятно! Обе функции, $\sin (\theta )$‍ и $\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍ в прямоугольном треугольнике возвращают одинаковое значение!

На этом всё! Мы показали, что $\sin (\theta )=\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Иными словами, синус угла равен косинусу дополнительного ему угла.

Формально мы доказали это утверждение только для углов от 0${}^{\circ }$‍ до 90${}^{\circ }$‍. Чтобы наше доказательство было верным для всех углов, нам придётся выйти за рамки тригонометрии прямоугольного треугольника и перейти к единичной окружности, но эту задачу мы рассмотрим в другой раз.

Вы, наверное, заметили, что слова «синус» и «косинус» очень похожи. Всё потому, что это — кофункции! Выше вы увидели, как устроены кофункции. В общем случае, если $f$‍ и $g$‍ — кофункции, то

и

$g(\theta )=f({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Ниже приведён полный список тригонометрических кофункций:

Отлично! Тот, кто придумывал названия для тригонометрических функций, отлично понимал, как они соотносятся друг с другом.