Тригонометрические отношения особых треугольников.

До сих пор мы пользовались калькулятором для нахождения синуса, косинуса и тангенса. Но есть особые углы, значение тригонометрических функций которых можно найти без калькулятора.

Всё дело в том, что мы знаем соотношения сторон в двух особых треугольниках! А точнее — в треугольниках 45-45-90 и 30-60-90.

Треугольник 30-60-90 — прямоугольный, у которого есть угол ${30}^{\circ }$‍ и есть угол ${60}^{\circ }$‍

Треугольник 45-45-90 — это прямоугольный треугольник с двумя углами равными ${45}^{\circ }$‍.

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить значения тригонометрических функций этих особых углов. Начнём с ${30}^{\circ }$‍

Разберём этот вопрос на примере ниже.

Вот разобранный пример:

Шаг 1. Постройте особый треугольник с интересующим нас углом.

Шаг 2. Обозначьте стороны этого треугольника в соответствии с отношениями интересующего нас особого угла.

Шаг 3. Воспользуйтесь определениями тригонометрических отношений, чтобы найти значение нужного нам выражения.

Обратите внимание, что $x$‍ можно рассматривать как $1x$‍, тогда станет очевидно, что ${\displaystyle \frac{x}{2x}}={\displaystyle \frac{1x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Теперь воспользуемся этим методом для нахождения $\cos ({30}^{\circ })$‍ и $\mathrm{tg}({30}^{\circ })$‍.

Проделаем каждый шаг ещё раз с углом в ${45}^{\circ }$‍. Начертим треугольник 45-45-90 и отметим его стороны.

Процесс получения значений тригонометрических функций для особых углов ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ и ${60}^{\circ }$‍ — точно такой же.

Несмотря на то, что мы пока явно не вывели, как найти значения тригонометрических функций для угла ${60}^{\circ }$‍, у нас есть всё необходимое.

Мы посчитали значения тригонометрических функций для углов ${30}^{\circ }$‍, ${45}^{\circ }$‍ и ${60}^{\circ }$‍. В таблице ниже сведены полученные нами результаты.

Эти значения часто встречаются в сложных задачах по тригонометрии, поэтому настоятельно рекомендуем их запомнить.

Некоторым проще зазубрить эти значения, хотя зубрёжка не всегда — лучший выход. В этой статье мы вывели значения некоторых функций, поэтому, надеемся, что вы сможете получить их заново, если они понадобятся вам в будущем.