График функции y=tg(x)

в этом видео я хочу по подробнее рассмотреть график функции тангенс тетта начну я с единичной окружности который мы сможем представить различные значения тангенса это у нас ось y а это ось x примерно вот так будет выглядеть наша единичная окружность давайте вспомним определение тригонометрических функций через единичную окружность возьмём некий угол тета с вершиной в начале координат одна сторона которого совпадает с положительным направлением оси x вторая сторона у него пойдет вот так между этими лучами угол тета так вот координаты точки в которой второй луч пересекает единичную окружность и и x и y координаты равны косинуса и синуса тета соответственно то есть x координата это косинус тета а y координата этой синус тета но нас сейчас интересует тангенс тетта мы знаем что тангенс это отношение синуса к косинусу если рассмотреть теперь второй луч угла идущий из начала координат то отношение синуса к косинусу это отношение y координаты точки к x координате то есть по сути это угловой коэффициент 2 луча это отношение изменения игрека к изменению x а таким образом тангенс равен угловому коэффициенту 2 луча угла тета это поможет нам представить чему равны и тангенсы разных углов ты-то давайте уберем все лишнее с единичной окружности вот так и я предлагаю составить таблицу в левом столбце мы будем выписывать различные значения угла тета а в правом соответствующие значения тангенса тетта наверное самый простой случай это когда ты это равно нулю если угол равен нулю радиан чему равен угловой коэффициент вот этого луча его угловой коэффициент равен нулю поскольку как бы мы не меняли x y меняться не будет дальше я буду выбирать такие значения ты так которые очень удобны и с точки зрения значения тангенса и в итоге мы сможем понять как выглядит график функции y равно тангенс тетта давайте возьмем угол равны и пины 4 радио нам здесь у нас это равно пины 4 чем интересен этот угол кому проще мыслить в градусах это 45 градусов у этой точке x координата и y-координата одинаковы если помните обе координаты здесь равны корню из двух пополам насколько мы сдвинулись по оси x на столько же сдвигаемся по оси y а следовательно угловой коэффициент и этого луча равняется единице то есть тангенс ты-то здесь равен единице синус и косинус равны если разделить один на другой получится 1 давайте снова уберем все лишнее это единичная окружность мне еще пригодится запишем если тета равно пи на 4 тогда тангенс тетта равен единице а если тета будет равно минус pin 4 второй луч пойдет вот так я снова построить треугольник мы знаем что x координаты точки пересечения луча с окружности у равна корню из двух пополам и это значение нам неоднократно встречалась вот этот угол тета равен минус и на 4 если вам удобнее градус это это минус 45 градусов синус и косинус такого угла будут противоположны друг другу x координаты точки пересечения луча с единичной окружностью равна корню из двух пополам а y координаты этой точки равна минус корню из двух пополам чему будет равен тангенс тангенс равен отношению синуса к косинусу в данном случае это минус единица это видно и по чертежу на сколько бы мы не сдвинулись по оси x на столько же мы сдвинемся по оси y но в противоположном направлении снова уберем все лишнее чтобы потом отметить следующий угол и так в этом случае тангенс равен минус единице давайте отложим получившиеся точки на графике горизонтальная ось у нас эту угол тета а вертикальная ось y мы сразу видим что тангенс 0 равен нулю тангенс пин 4 радиан равен единице тангенс в минус пины 4 радиан равен минус единице по этим трем точкам вам может показаться что график представляет собой прямую но мы увидим что он совсем не похож на прямую что произойдет если наш угол будет всё ближе и ближе подходить к значению пи пополам что будет происходить с угловым коэффициентом нашей прямой это у нас угол тета мы берем его достаточно близким к пи пополам соответственно второй угол этого луча будет всё ближе и ближе к вертикальной прямой а его угловой коэффициент будет расти в положительном направлении самом значение пи пополам угловой коэффициент не определен но чем ближе мы к вертикали тем больше угловой коэффициент стремится к бесконечности давайте на графике изображу вертикальную асимптоту в точке пи пополам чем ближе мы подходим к этой точке тем дальше в бесконечность стремится тангенс таким образом график пойдет примерно следующим образом чем ближе ты так пи пополам тем больше стремится в бесконечность угловой коэффициент 2 луча угла тета а что произойдёт если угол тета будет приближаться к минус и пополам тогда угловой коэффициент луча будет расти по модулю в отрицательном направлении он будет стремиться в минус бесконечность давайте изобразим это опять же в точке минус и пополам тангенс также не определен здесь у нас будет вертикальная асимптота и приближаясь к ней справа мы будем стремиться в минус бесконечность вот так выглядит график тангенса на промежутке от минус и пополам до пи пополам но давайте продолжим представьте что мы пересекли значение пи пополам и остановились сразу же за этим значением чему равен угловой коэффициент и этого луча угловой коэффициент этого луча очень большое по модулю отрицательное число по чертежу даже можно сказать что он скорее всего совпадает с угловым коэффициентом не него луча то есть график снова начинается из минус бесконечности то есть принимает очень большие по модулю отрицательные значения с увеличением угла тета модуль углового коэффициента уменьшается пока мы не дойдем вот до такого угла чему равен этот угол я вам еще не сказал а но этот угол равен 3 pin 4 почему я выбрала такой угол потому что это пи пополам плюс пины 4 или можно сказать что это два pin 4 + и на 4 равно 3 pin 4 чем интересен этот угол а тем что у нас снова получился треугольник с углами пины 4 pin 4 пи пополам или в градусах 45 45 90 x и y координаты точки пересечения с окружностью здесь снова равны по модулю только здесь x координата отрицательная а y-координата положительная а значит угловой коэффициент будет таким же какой был когда мы взяли минус пены 4 радиан то есть минус единица таким образом когда тета равно 3 и на 4 тангенс равен минус единице затем мы увеличиваем угол до пи здесь угловой коэффициент снова вернулся в ноль а если мы сдвинем еще на пин и 4 угловой коэффициент снова будет равен единице и наконец по мере приближения к трем пи пополам угловой коэффициент будет становиться всё больше и больше стремясь к плюс бесконечности это значит что даже незначительное изменение x координаты на такой прямой вызывает очень большое изменение y координаты а значит дальше график будет выглядеть следующим образом график пойдет примерно вот так и дальше он будет повторяться через каждые п радиан отмечу асимптоту пунктирные линии отмечу . минус п и начерчу еще одна асимптота дальше отмечу еще две точки и на этом промежутке график функции тангенс тетта будет выглядеть примерно вот так как видим этот график периодически повторяется и он будет повторяться в обоих направлениях спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить