Точки пересечения функций y=sin(x) и y=cos(x)

нас спрашивают сколько точек пересечения графика синуса тета и графика косинуса тета на промежутке от 0 до 2п причем здесь стоят знаки меньше или равно то есть граничные точки 0 и 2 пет тоже включаются ты это может принимать эти значения для того чтобы решить задачу я составила таблицу где отметил от это косинус тета и синус тета эта таблица а также единичная окружность помогут нам начертить графике функции y равно синус тета и y равно косинус тета а затем посмотреть сколько раз они пересекаются на данном промежутке и может даже выяснить где именно они пересекаются и так приступим сразу поясню это у меня единичная окружность горизонтальная ось x вертикальный y на правом чертежи мы будем строить графики обеих функций вертикальная ось здесь будет y и строить мы будем графике функции от это поэтому на горизонтальной оси будет не x от это итак в первую очередь давайте выясним что будет если тета равняется нулю если ты это равно нулю мы находимся вот в этой точке какие координаты у этой точки и эта точка имеет координаты 10 а значит чему равен косинус тета если тета равно нулю косинус то это будет равен единице а синус тета нулю косинус это x координаты точки пересечения луча угла с единичной окружностью а синус это y координата этой точки продолжим возьмем пи пополам и это будет вот такой угол мы окажемся вот в этой точке какие у нее координаты теперь x координата равна нулю а y координаты единицы а следовательно косинус тета здесь равен нулю чему равен синус синус тета равен единице это и y координата точки дальше рассмотрим угол пи на единичной окружности мы попадем вот в эту точку какие у нее координаты координаты этой точки минус 1 0 чему будет равен косинус тета это x координаты то есть -1 а синус ты это это y-координата то есть 0 продолжим дальше следующая . вот здесь это три пи пополам мы повернулись на три вторых пик какие у этой точке координат и ее координаты ноль минус 1 косинус тета это x-координата а значит косинус тета равен нулю а чему равен синус тета он будет равен минус единице и наконец последний угол 2 пи который соответствует полному обороту мы сделали полный оборот и вернулись в изначальную точку а значит координаты этой точки будут теми же что и случае когда ты то равнялась нулю радиан косинус тета здесь равен единице а синус тета равен нулю по этим точкам мы можем схематично построить графики и посмотреть на точке их пересечения давайте начнем с косинуса тета и отметим масштаб на вертикальной оси вот здесь у нас будет y равной единице а здесь y будет равен минус единице итак приступим когда ты это равно нулю косинус тета равен единице когда тета равна пи пополам косинус тета равен нулю когда ты это равно пик косинус тета равен минус единице когда тета равно трем пи пополам косинус тета равен нулю и наконец когда ты t равно 2 и косинус тета снова равен единице и кривая графика будет выглядеть примерно вот так стараясь изо всех сил нарисовать его как можно более аккуратно внешний вид обоих графиков должен быть вам знаком и так это у нас график функции и y равно косинус тета теперь давайте построим график синуса когда ты это равно нулю синус тета равен нулю когда тета равно пи пополам синус тета равен единице когда ты это равно п синус тета равен нулю когда ты это равно трем пи пополам синус тета равен минус единице когда ты это равно 2i синус тета снова равен нулю таким образом график синуса будет выглядеть примерно вот так и мы уже можем посмотреть на эти графики и попробовать ответить на поставленный вопрос сколько точек пересечения у графиков синуса и косинуса на промежутке от 0 до 2п включая граничные значения сразу видно что этих графиков здесь две точки пересечения вот и 1 . а вот вторая нас просят рассмотреть конкретный промежуток обе эти функции цикличны дальше они начнут повторяться и будут пересекаться снова и снова но на промежутке от 0 до 2п мы видим ровно две точки пересечения теперь давайте подумаем что это заточки кажется что первое находится примерно посередине между 0 и пи пополам а вторая между p и тремя пи пополам взглянем на единичную окружность и попробуем определить эти значения кажется что 1 . это ты-то равная pin 4 давайте проверим нашу догадку и посмотрим чему равны синус и косинус если угол тета равен пины 4 итак вот у нас угол и на 4 радиан это 45 градусов добавим в таблицу еще одну строчку pin 4 наша задача узнать координаты вот этой точки давайте построим прямоугольный треугольник что мы знаем об этом треугольнике начерчу его отдельно это достаточно часто встречающийся вид прямоугольного треугольника поэтому не помешает изучить его поподробнее так этот угол прямой мы знаем что левый угол равен 45 градусам чему равна длина его гипотенузы это единичная окружность ее радиус равен единице значит длина гипотенузы единица а что нам известно про верхний угол он тоже должен равняться 45 градусам поскольку сумма всех углов треугольника должна равняться 180 градусам раз эти два угла равны значит и стороны при них также будут равны а дальше мы можем воспользоваться теоремой пифагора и найти длины катетов итак мы знаем что длины катетов равны как нам при помощи теорема пифагора их найти давайте обозначим длину каждого катета буквой а теперь воспользуемся теоремой пифагора сумма квадратов катетов то есть а в квадрате плюс а в квадрате равно квадрату гипотенузы то есть единицы 2a в квадрате равно единице а в квадрате равно 1 2 извлекаем корень равно корню из одной второй корень из единиц и эта единица а в знаменателе остается корень из 2 можно избавиться от иррациональности в знаменателе умножив эту дробь на корень из двух деленный на корень из 2 в числителе останется корень из 2 от знаменателя корень из 2 умножить на корень из двух этот 2 таким образом длина каждого из этих катетов равна корню из двух пополам а теперь подумаем какие координаты у этой точке она сдвинуто вправо в положительном направлении на корень из двух пополам значит и и x-координата корень из двух пополам по оси y она сдвинута вверх в положительном направлении на корень из двух пополам значит и и y координаты тоже корень из двух пополам косинус тета равен x координате точки то есть корню из двух пополам синус тета это y-координата тоже корень из двух пополам как видите значение обеих функций в этой точки совпадают в точке pin 4 значения обеих функций равно корню из двух пополам а что вы с этой точкой которая похожа лежит посередине между p и тремя пи пополам вот у нас на окружности и а вот три пи пополам посередине между ними лежит вот такой угол он равен пи плюс пины 4 петлю спины 4 это тоже что 4 pin 4 + кино 4 таким образом этот угол равен 5 pin 4 мы хотим разобраться с этой точкой чему равны значения функций если тета равно 5 pin 4 на этот вопрос можно ответить несколькими способами можно прибегнуть к геометрии раз вот этот угол равен 45 градусам значит этот угол тоже равен 45 градусам то есть угол между осью x и вот этим лучом равен 45 градусам а дальше мы можем проделать те же рассуждения построить прямоугольный треугольник мы знаем что его гипотенуза равна единице один угол в нем прямой 2 равен 45 градусам значит оставшийся тоже 45 градусов получился треугольник очень похожий на тот что мы рассматривали более того эти два треугольника равны гипотенуза единица углы 45 45 и 90 и мы уже знаем что у такого треугольника катеты равны корню из двух пополам по той же самой логике которую мы применяли в первом случае тогда какие координаты будут у этой точке она лежит левее начала координат сдвинута на корень из двух пополам в отрицательном направлении по горизонтали а значит и и x координата равна минус корню из двух пополам и и проекции на ось x имеет координату минус корень из двух пополам чему равна y-координата мы должны спуститься на корень из двух пополам вниз в отрицательном направлении относительно начала координат а значит и и y-координата также равна минус корню из двух пополам получается что косинус тета в этой точке равен минус корню из двух пополам а синус тета также равен минус корню из двух пополам как видим в этой точке значения синуса и косинуса тоже совпадают спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить