Введение в радианы

Здравствуйте! Все мы привыкли к тому, что мера угла дается в градусах. Постоянно мы говорим, что угол равен столько-то градусов. Например, если нам дан вот такой угол, то мы говорим, что это угол 30°. Если же угол выглядит так (это прямой угол), то мы говорим, что это угол 90°. Если же известно, что угол развернутый и равен 180°, то он выглядит так. Если угол равен 360°, то он выглядит так. Мы как будто делаем полное вращение. Вы, наверное, нередко слышали словосочетание «поворот на 360°» в фигурном катании или соревнованиях по скейтбордингу. Но вот, что я хочу сказать. Градусы – это мера углов, придуманная человеком. Это не единственная единица, с помощью которой можно измерить угол. У вас никогда не возникал вопрос: «Почему полное вращение определяют как угол 360°?» Есть несколько теорий по поводу того, почему полное вращение называют углом в 360°. Одна из них связана с астрономическими суждениями... А вот другая родом из Древнего Вавилона, где существовала 60-ти ричная система исчисления. Основой счета были цифры от 1 до 6, а не от 0 до 10, как у нас сейчас. То есть все, что мы обычно делим на 10, древние вавилоняне делили на 6, а то, что мы делим на 100 – они делили на 60. Представьте, что у вас есть окружность, которую разделили на 6 равных секторов, и каждый сектор вы еще делите на 60 секций согласно шестидесятеричной системе исчисления. В итоге у вас получится 360 секций (секторов). Отсюда и 360°. Но на этом уроке я хочу вам рассказать об альтернативном способе измерения углов. Возможно, этот способ вам покажется не совсем понятным, но с точки зрения математики он более логичный. Он не основан на непонятных теориях, связанных системой исчисления вавилонян или еще на каких-то… Углы измеряют также с помощью радиан. Итак, радианы. Рассмотрим это понятие. Нарисуем окружность. О, неплохо получилось. Отметим центр окружности. Вот он. Проведем радиус. Вот такой радиус. Обратите внимание, слова «радиус» и «радиан» начинаются с «рад», и это не просто совпадение. Итак, это у нас радиус нашей окружности, его длина r. И давайте построим угол и назовем его θ. Детально рассмотрим этот угол. Продлим лучи. Этот угол, так сказать, вырезает из окружности дугу. Часть окружности, которая находится между двумя этими точками, называется дугой. Можно сказать, что угол θ опирается на эту дугу. И длина этой дуги, предположим, равна радиусу окружности. Эта дуга также равна r. А теперь представьте, что вы известный математик, и вам нужно ввести новую единицу для измерения угла, которая называется радианом. Сколько радиан, по-вашему, содержит этот угол? Итак, коль радианы – это просто другая мера угла (да и слова «радиус» и «радиан» очень похожи), а дуга, на которую опирается наш угол, равна радиусу, значит, будет логично, если мера этого угла будет равна 1 радиану. Вот именно так и определяют радиан. Значит, если угол равен 1 радиану, то длина дуги, на которую он опирается, равна 1 радиусу. С радианами все просто. Углу в 1 радиан соответствует дуга, равная 1 радиусу. В случае с градусами нам пришлось бы провести ряд вычислений, чтобы найти длину дуги. Здесь все просто: если угол длиной в 1 радиан, то дуга - в 1 радиус. Давайте теперь проведем несколько экспериментов. Давайте нарисуем еще одну окружность. Рисуем еще одну окружность. Это центр. Вот это радиус. Как вы думаете, чему будет равен этот угол в радианах? Какова радианная мера этого угла? Мы знаем, что градусная мера этого угла равна 360°, а вот чему равна радианная мера – неизвестно. Основываясь на этом примере (на этом определении), выясним, чему равна радианная мера вот такого угла. Для этого давайте сначала найдем длину дуги, на которую опирается наш угол. Длина дуги, на которую опирается угол, равна длине окружности. Это длина всей окружности. А чему равна длина окружности, если радиус равен r? Мы знаем, чему она равна. Это 2Пr. Теперь вернемся немного назад. Дуга у нас равна 2П радиусам, правильно? Длина дуги равна 2Пr. Радианная мера угла равна количеству радиусов, которому равна длина дуги. А значит, получается, что этот угол (назовем его х) равен 2П радиан. И этот угол опирается на дугу длиной 2П радиус. Если радиус r равен 1, то длина дуги, соответственно, будет равна 2П. Теперь, зная это, давайте подумаем, как перевести градусы в радианы. Только что мы выяснили, что радианная мера вот такого угла равна 2П радиан. А сколько это градусов? Мы тоже знаем. Градусная мера вот такого угла равна 360°. Давайте запишем: равно 360°. Можно записать градус словом, а можно просто поставить вот такой значок. Пожалуй, лучше запишем словом: градусов. Может, так будет понятней. Давайте упростим немного это выражение. Разделим обе части на 2. В левой части равенства тогда останется только П, П радиан, а в правой части получится 180 градусов. Видите, этот угол равен 180°, и если мы нарисуем окружность, то длина этой дуги будет равна П радиусам, а угол, соответственно, будет равен П радиан. П радиан – это 180°. Вот так мы плавно и подошли к переводу радиан в градусы. Сколько в 1 радиане градусов? Чтобы это выяснить, нужно всего лишь разделить обе части равенства на П. Давайте я запишу, что мы делим обе части равенства на П, а то, может, вам не совсем понятно. В левой части останется только 1 (единица), а в правой части будет 180/П. Таким образом, 1 радиан равен 180/П градусов. По этой, так сказать, формуле мы можем перевести радианы в градусы. А теперь выясним, сколько радиан в 1 градусе. Заново давайте перепишем равенство во второй строке. Итак, П радиан равно 180 градусам. Нам нужно выразить 1 градус из этого выражения. Чтобы это сделать, разделим обе части на 180. Что в итоге получится? Что П/180 радиан = 1 градусу. Возможно, сейчас вам и не совсем понятно, что к чему. Здесь нет ничего сложного. Главное – помнить, что 2П радиан – это 360 градусов. Отсюда П радиан равно 180 градусам. И из этого выражения мы всегда можем выразить хоть 1 радиан, хоть 1 градус. И совсем необязательно запоминать, что 1 радиан – это 180/П градусов, а 1 градус – это П/180 радиан. Достаточно запомнить, что 2П радиан – это 360 градусов. На следующих уроках мы рассмотрим несколько примеров на перевод градусов в радианы и наоборот – радиан в градусы. Уверена, вы во всем разберетесь. А на этом все. До скорых встреч!