Доказательство основного тригонометрического тождества

давайте вспомним определение тригонометрических функций через единичную окружность перед вами единичная окружность слова единичная означает что ее радиус равен единице то есть x координаты вот этой точки равна единице а y координата равна нулю координаты вот этой точки 0 , 1 это у нас . -10 а координаты вот этой точки 0 минус один радиус этой окружности то есть расстояние от ее центра лежащего в начале координат до любой точки на окружности равняется единице определение тригонометрических функций через единичную окружность использует это свойство это значит что если мы возьмём некий угол тета начальная сторона которого направлена вдоль оси x а вторая сторона угла отложено от нее против часовой стрелки то есть вот этот угол равен тета то для него косинус и синус определяются как x-координата и y координаты точки где вторая сторона угла отличающийся от начальной пересекает единичную окружность то есть мы должны взять вот эту точку тогда ее x-координата соответствует вот этому значению и равняется косинуса тета а ее y-координата соответствует вот этому значению и равняется синусу тетта в прошлых видео мы говорили что это естественное расширение традиционных определений через стороны прямоугольного треугольника она полезна тем что работает даже для отрицательных углов для прямого угла для углов больше 90 градусов и для углов меньше 90 градусов то есть это очень удобное и полезное определение в этом видео я хочу использовать это определение тригонометрических функций для доказательства так называемого основного тригонометрического тождества оно по сути является прямым следствием из того факта что эта точка лежит на окружности с радиусом единица как выглядит уравнение окружности с радиусом единица и центром в начале координат и она выглядит следующим образом x в квадрате в прошлых видео мы доказывали этот факт при помощи формулы расстояния которые следует из теоремы пифагора и так уравнение единичной окружности с центром начале координат выглядит так x в квадрате плюс y в квадрате равняется квадрату радиуса то есть единица длина вот этого отрезка у нас равняется единице как я уже сказала мы определяем косинус тета как x координата этой точки а синус как и и y координату поскольку эта точка лежит на окружности она должна удовлетворять ее уравнению поскольку косинус определяется как x-координата а синус как y-координата эти координаты должны удовлетворять данному уравнению из этого следует что косинус квадрат тета плюс синус квадрат это должно равняться единице или синус квадрат тета плюс косинус квадрат тета равняется единице косинус это x-координата синус это y-координата а значит они должны удовлетворять уравнению единичной окружности таким образом косинус квадрат тета плюс синус квадрат это равняется единице это выражение с которым мы уже сталкивались в других видео называется основным тригонометрическим тождеством вы спросите чем она полезна тем что зная синус угла тета мы можем найти косинус угла тета и наоборот а зная например косинус тета мы можем вычислить синус тета а затем найти тангенс ты это поскольку тангенс это отношение синуса к косинусу в иностранных источниках это выражение часто называется тождеством пифагора что следует из уравнение окружности возьмем вот эту точку с координатами косинус тета и синус тета чему равно расстояние от этой точки до начала координат чтобы ответить на этот вопрос мы можем построить прямоугольный треугольник длина вот этого отрезка для любой координатные четверти будет равняться модулю x координаты этой точки то есть модулю косинуса тета а длина вот этого отрезка равна b делю синуса тета в первой четверти модуль не имеет смысла но если мы возьмем точку в любой другой координатные четверти и построим такой же прямоугольный треугольник там тогда модуль нам пригодится что нам говорит об этом треугольнике теоремы пифагора его гипотенуза равна единице тогда квадрат 1 катета модуль косинуса квадрат тета плюс квадрат 2 катета модуль синуса квадрат это равняется квадрату гипотенузы единица в квадрате если мы возводим в квадрат отрицательное число то минус на минус даёт плюс а значит модули можно опустить получится косинус квадрат тета плюс синус квадрат это равно единице вот почему его называют тождеством пифагора она следует из уравнение окружности которые в свою очередь следует из теоремы пифагора для прямоугольного треугольника гипотенуза которого равна единица спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить