Значения тригонометрических функций для особых углов

перед нами единичная окружность с центром в точке а . b лежит на этой окружности из точки б опущен перпендикуляр на ось x который пересекает ее в точке d эта точка лежит на положительной стороне оси x получился треугольник а б д и нам дано что угол b и d равен пины 4 радиан в этом видео я хочу использовать наши познания в тригонометрии все что мы знаем о треугольниках чтобы найти несколько вещей и первый вопрос который я задам чему равна радианная мера угла a bad д давайте сначала на него ответим а потом я расскажу что еще хочу найти буду считать что вы нажали на паузу и попытались найти ответ самостоятельно чему равен угол а д б нам известны два угла в этом треугольнике если мы знаем два угла в треугольнике то легко сможем найти 3 сейчас наверное я скажу не самую очевидную вещь мы привыкли что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам но в этой задаче мы считаем в радианах поэтому вместо 180 градусов мы скажем что сумма внутренних углов треугольника равна пи радиан то есть вот этот угол плюс и вот этот угол плюс вот этот угол в сумме дадут пи давайте запишем угол а а б д в радианах плюс пины 4 плюс вот этот угол прямой чему равна радианная мера прямого угла 90 градусов в радианах этапе пополам и в сумме у нас получается и радиан то есть 180 градусов отсюда мы можем выразить угол а б д угол а б д равен пи минус и пополам минус пины 4-я вы чего из обеих частей равенства эти два слагаемых общий знаменатель у этих дробей 4 первое слагаемое это 4 pin 4 дальше минус 2 pin 4 и наконец минус пины 44 мин с 2 минус 1 получается единица получается пины 4 таким образом угол а б д оказался равен углу б а д то есть пины 4 чем нам это поможет мы теперь знаем что этот угол пины 4 радиан и этот угол пины 4 радиан кроме того это у нас единичная окружность то есть мы знаем длину отрезка а.б. отрезок а.б. это радиус окружности значит его длина равна единице что еще мы можем узнать об этом треугольнике можем ли мы найти длины отрезков ad&d б конечно мы выяснили что углы при гипотенузе треугольника равны значит этот треугольник равнобедренный его катеты тоже будут равны то есть длина вот этой стороны равна длине этой стороны я могу повернуть этот треугольник чтобы вам было проще понимать о чем я говорю изображу его отдельно гипотенуза и вниз вот так сверху у нас точка d слева . b а справа . а угол d прямой оба угла при основании равны пины 4 радиан если углы при основании треугольника равны то этот треугольник равнобедренный если бы все три угла были равны треугольник был бы равносторонним но это не наш случай перед нами равнобедренный но не равносторонний треугольник если углы при основании равны ты соответствующие стороны будут равны треугольник в котором две стороны равны называется равнобедренным как это поможет вычислить длинный катетов обозначим сторону б.д. за икс это значит что обед тоже равна x а теперь можем воспользоваться теоремой пифагора x в квадрате это один катит плюс x в квадрате это второй катет равно квадрату гипотенузы единицы в квадрате а значит 2x в квадрате равно единице x в квадрате равно одной второй извлекаем квадратный корень из обеих частей получаем что икс равен единице деленный на корень из двух математики не любит когда в знаменателе стоит кори они стараются избавиться от иррационального знаменателя для этого умножим все на корень из двух деленный на корень из 2 в числителе получится корень из 2 а в знаменателе корень из 2 умножить на корень из 2 это просто 2 итак мы узнали радианную меру угла а б д мы вычислили длину отрезков а д и б д и теперь я хочу воспользоваться этой информацией чтобы найти значение синуса и косинуса и тангенса угла pin 4 радиан первый вопрос как найти синус пи на 4 радиан зная все что мы с вами нашли я снова рекомендую вам нажать на паузу вспомнить определение тригонометрических функций через единичную окружность и попробовать ответить самостоятельно как видим на чертеже одной из сторон и угла b и d является положительный луч оси x а если взять точку пересечения второй стороны угла с единичной окружностью то ее x и y координаты будут равны косинуса и синуса этого угла соответственно таким образом x координата равна косинусу пины 4 радиан а y координатой синусу пи на 4 радиан если мы хотим узнать значение синуса пины 4 чему будет равна y координаты этой точки она равна длине вот этого отрезка которая в свою очередь равна длине правого катета то есть x и x мы с вами вычислили равен корню из 2 пополам чему равен косинус пи на 4 снова рекомендую вам нажать на паузу и подумать косинус равен x координате чему равна x координата точки б она равна длине вот этого отрезка то есть тоже x и x у нас равен корню из 2 пополам и наконец чему равен тангенс угла пин 4 радиан тангенс угла это отношение синуса к косинусу в нашем случае значение синуса и косинуса пены 4 равны оба равняются корню из двух пополам если корень из двух пополам разделить на корень из двух пополам получится единица и это логично как вы помните тангенс угла это угловой коэффициент вот этой прямой но на сколько бы мы не продвинулись по этой прямой вправо ровно на столько же мы поднимемся по ней вверх то есть отношение изменения игрека к изменению значения x по сути равно x разделить на x то есть единица спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить