Задача на моделирование суточной температуры

в июне в йоханнесбурге минимальная суточная температура обычно приблизительно равна трем градусам цельсия а максимальная суточная температура около 18 градусов цельсия средняя температура между этими значениями как правило наблюдается в 10 утра и в десять вечера а максимальная температура бывает днем запишите тригонометрическую функцию которые моделируют температуру обозначенную большой буквой т в йоханнесбурге через маленькую т часов после полуночи для начала давайте представим как может выглядеть график такой функции по вертикальной оси мы будем откладывать температуру в градусах цельсия я даже построят два графика функций в любом случае по вертикали у нас будет температура в градусах цельсия а по горизонтали время в часах она обозначается маленькой буквой t теперь давайте посмотрим на диапазон температур минимальная суточная температура около трех градусов цельсия а максимальная около 18 пусть вот эта . у нас соответствует 18 градусов а вот эта . 3 градуса сразу же можно отметить среднюю точку между тремя и восемнадцатью именно такая температура бывает в йоханнесбурге в десять часов утра и в 10 часов вечера 18 + 3 это 21 делим пополам получается 10 с половиной таким образом линия среднего значения нашей тригонометрической функции пойдет по прямой y равен 10 с половиной градусам цельсия график будет колебаться вокруг этой прямой максимальная суточная температура 18 градусов цельсия а минимальная 3 градуса цельсия график будет колебаться вокруг линии среднего достигая максимального и минимального значений что мы знаем еще мы знаем что график пересекает линию среднего значения в 10 утра и в десять вечера но давайте для простоты пока не будем искать ответ на вопрос и задача не будем отсчитывать время t от полуночи я определю новую функцию f от t равной температуре в йоханнесбурге через t часов прошедших после десяти утра я выбрал и 10 утра потому что мы знаем что ровно в десять утра график температуры пересекает линию среднего значения а теперь давайте построим график функции f от t если t равно нулю это соответствует 10 часам утра но по условию задачи в этот момент температура равна средней температуре между минимумом и максимумом чему равен период нашей тригонометрической функции f от t через 24 часа мы вернемся в 10 утра значит период этой функции равен 24 часам отметим на оси . 24 часа и посередине будет . 12 часов что случится через 12 часов через 12 часов мы попадем в 10 часов вечера то есть снова вернемся на линию среднего значения среднего температуру между максимумом и минимумом это я отмечаю точке графика моей новой функции f от t теперь давайте подумаем что произойдет с графиком если мы начнем двигаться вперед из десяти часов утра по условию нам дано что самый жаркий час наблюдается днем это явно где-то в промежутке от 10 утра до 10 вечера то есть график пойдет вверх и достигнет максимума на полпути до t равного 12 это будет . шесть часов после десяти утра то есть четыре часа дня таким образом функция достигнет максимума в 4 часа дня давайте начертим нашу кривую она пойдет примерно вот так а минимальная . будет соответствовать шести часам после десяти вечера то есть четырем часам утра в этой точке t равно 18 это 18 часов после десяти утра и здесь суточная температура будет минимальной а дальше кривая пойдет примерно вот так естественно дальше график будет периодически он пойдёт и дальше как в положительную так и отрицательную это будет соответствовать времени до 10 утра и the funk я будет бесконечно циклически повторяться и так я рекомендую вам нажать на паузу и подумать как будет выглядеть формула функции f от t итак во-первых давайте подумаем какая функция нам подойдет лучше синус или косинус в принципе мы можем использовать любую из них но посмотрим какую взять проще и удобнее какая из этих функций в нуле принимать среднее значение синуса в нуле принимает значение 0 и если бы наша функция f не была сдвинута вверх или вниз и и среднее значение как и у синуса в нуле тоже равнялась бы нулю итак синус 0 равен нулю затем он начинает расти и дальше колеблется примерно таким же образом поэтому предлагаю взять синус для моделирования нашей функции опять же можно использовать и косинус но синусом все будет немного проще теперь давайте посмотрим на амплитуду насколько функция отклоняется от линии среднего значения в точке максимума она поднимается на семь с половиной выше линии среднего а в минимуме на семь с половиной ниже линии среднего таким образом амплитуда равна семи с половиной а теперь давайте найдем период как мы уже говорили период составляет 24 часа это вот такой отрезок и это логично поскольку через 24 часа мы окажемся в той же точке значит мы должны в аргументе синуса разделить 2 пи на период на 24 и все это умножить на t но если вы забудете формулу забудете что нужно разделить два pin период то вы всегда можете вывести этот коэффициент по логически если t равно нулю то весь аргумент синуса будет равен нулю это соответствует вот этой точки а если t равно 24 аргумент синуса должен равняться двум пи это будет значить что мы сделали полный оборот по единичной окружности и так мы почти закончили если бы среднее значение равнялась нулю это и был бы ответ но наш график сдвинут вверх на 10 половиной eden следовательно мы должны добавить в конце еще 10 половиной и так мы успешно написали формулу нашей функции можно ее немного упростить скобках вместо двойки деленной на 24 можно написать одну 12 так или иначе вот такая функция моделирует суточную температуру в йоханнесбурге через t часов после десяти утра но в задаче нас спрашивают не об этом нас просят найти функцию которая моделирует температуру через t часов после полуночи как же будет выглядеть функция p от t для этого нам нужно сдвинуть нашу функцию по горизонтали давайте запишем функция от t моделирует температуру через t часов после полуночи амплитуда у нас остается прежней температуры настолько же отклоняется от среднего значения а значит начинается функция т ак ты точно также семь с половиной умножить на синус вместо 2 пи разделить на 24 я запишу и разделить на 12 аргумент темп мы должны сдвинуть по горизонтали либо влево либо вправо в действительности мы можем сдвинуть аргумент в любую сторону ведь наша функция периодическая и так здесь у нас будет топ плюс или минус какое-то число и в конце плюс 10 половиной а теперь тонкий момент и мне всегда приходится перепроверять и вами это действие несколькими способами чтобы убедиться что я сдвигаю график в правильную сторону и так в десять часов утра мы находимся в этой точке здесь t равно нулю это 0 часов после десяти часов утра но что такое 10 часов утра для функции т для этой функции 10 часов утра это 10 часов после полуночи таким образом функция большая ты от 10 должна равняться f от нуля аргумент функции f означает часы после десяти утра то есть это у нас ноль часов после десяти утра то есть температура в 1000 аргумент функции большая т это часы после полуночи таким образом это тоже температура в десять часов утра и так мы хотим чтобы ты от 10 равнялась f от нуля что это означает когда мы рассматриваем этот 0 весь этот аргумент синус равняется нулю значит аргумент синусов функции ты должен равняться нулю когда t равно 10 а значит здесь должно стоять p минус 10 обратите внимание теперь если мы подставим сюда ты равные 10 весь аргумент синуса станет равным нулю а значит и синус тоже будет равен нулю останется только десять с половиной то же самое получается когда мы возьмем f от нуля аргументу синус равен нулю сам синус равен нулю остается 10 половиной и так ты от 10 должна равняться f от 0 по сути мы уже нашли нужный аргумент если подставить сюда 10 аргумент становится равным нулю и это равенство будет верным но давайте теперь построим график функции т где у нас будет . т от 10 10 это где-то между шестью и 12 примерно вот здесь ты от 10 равняется эф от нуля то есть нулю и получается что мы по сути сдвинули весь график функции f вправо на 10 единиц и это логично какое бы время мы не взяли количество часов прошедших после десяти утра будет на 10 меньше чем количество часов прошедших от полуночи таким образом все точки будут сдвинуты на 10 единиц вправо график пойдет примерно вот так разумеется кривая будет периодически повторяться в обе стороны и так если мы хотим сдвинуть график функции на 10 единиц вправо мы должны заменить аргумент т на t минус 10 я постаралась объяснить почему так спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить