If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Преобразование синусоиды: вертикальное и горизонтальное растяжение

строит график функции y=-2,5*cos(1/3*x), рассматривая его как вертикальное растяжение и горизонтальное отражение исходной функции y=cos(x). Создатели: Сэл Хан.

Транскрипция к видео

нас просят построить график функции y равно минус 2 с половиной косинуса 1 3 x на промежутке от 0 до 6п включая граничные точки начну я с графика можно сказать простейшего варианта этой функции с косинуса x это у меня ось y я хочу оставить побольше места чтобы в итоге прийти к тому графику который у нас спрашивают и так вот эта . -1 вот эта . -2 это плюс 1 и плюс 2 а вот эта . пусть соответствует двум пи половина этого отрезка соответственно будет пи и так начнём я хочу построить график функции y равен косинусу x я ограничусь промежутком от 0 до 2п косинус периодическая функция дальше она будет повторяться в обе стороны что будет если x равен нулю чему равен косинус нуля косинус 0 равен единице что будет если x равен пи чему равен косинус пи косинус пи равен минус единице а чему равен косинус 2пи он снова равен единице в этой точке мы совершили полный оборот 2 пи это период функции косинус икс я могу продолжить и дальше но дальше косинус будет повторяться поэтому достаточно построить его график от 0 до 2п а дальше давайте подумаем что произойдет с графиком если вместо косинуса x мы построим график функции y равен косинусу 1 3 x разница между этими функциями в том что я умножила x на одну треть как в этом случае изменится график что случится с графиком если вместо x в аргументе косинуса будет стоять 1 3 x причем теперь я буду строить график на всем промежутке от 0 до 6п давайте убедимся что нам хватит места отмечу точке 3 и 4 5 п и 6p как изменится наш график есть несколько способов подойти к этому вопросу самый простой подход заключается в том что теперь мы будем делать полный оборот втрое медленнее иными словами чему равен период функции y равен косинусу 1 3 x период будет равен 2п деленным на модуль коэффициенты при аргументе модуле 1 3 это одна треть таким образом период равен двум делённым на одну треть это то же самое что 2 пи умножить на 3 то есть 6 п это соответствует интуитивному представлению по сравнению с обычным косинусом мы теперь будем совершать полный оборот втрое медленнее вместо x мы теперь берем одну треть от икса то есть чтобы добраться до 2п мы должны преодолеть втрое большее расстояние то есть 6 п так или иначе период новой функции равен 6п если x равен нулю то одна треть от 0 также равна нулю и косинус 0 равен единице если x равен 6п тогда трети от этого значения равна 2п а косинус 2пи равен единице на первом графике промежуточным значением между этими двумя точками был api а теперь мы должны взять три пи если x равен 3 п 1 3 3 п равна просто пи а косинус пи равен минус единице таким образом если x равен 3p косинус это 1 3 3 п равен косинусу п то есть минус единицы а значит график будет выглядеть примерно вот так постараюсь изобразить его максимально аккуратно как видите чтобы из графика косинуса x получить график косинуса 1 3 x нужно растянуть его по горизонтали в три раза период нового графика увеличился в 3 раза изначальный период равнялся 2п и так до функция который нас спрашивают в условии задачи осталось проделать еще одно преобразование нам нужно получить из функции косинус 1 3 x функцию минус 2 с половиной косинуса 1 3 x снова вставим координатные оси отметим важные точки это у нас 2 pi 3 и 4 5 и 6 п и мы теперь строим график функция которые спрашивают в условия на промежутке от 0 до 6п изначально мы строили график косинуса от 0 до 2п все эти функции периодически и их графики повторяются в обе стороны но теперь мы хотим построить график функции минус 2 с половиной косинуса 1 3 x по сути мы должны умножить предыдущую функцию на минус 2 с половиной прежде чем это сделать давайте подумаем о некоторых свойствах этих функций чему равнялась apple туда обоих построенных графиков ее можно вычислить по разному можно посчитать амплитуду как половину разницы между минимальным и максимальным значениями в обоих случаях минимум равен минус единице а максимум плюс единица разница между ними равны от двум половина 2 единица а можно посчитать амплитуду как модуль коэффициента перед косинусом в обоих случаях он равен единице модуль единицы опять же равен единице а чему равна амплитуда нашего конечного графика apple туда как я уже сказала равна модулю коэффициента стоящего перед косинусом амплитуда теперь равна модулю от минус 2 с половиной то есть просто 2 с половиной а теперь давайте подумаем как умножение на минус 2 с половиной изменит предыдущий график если бы мы умножали на плюс два с половиной это означало бы растяжение графика по вертикали каждая точка графика умножалось бы на два с половиной но у нас коэффициент минус 2 с половиной значит мы должны растянуть график вертикально а затем отразить его относительно оси x давайте посмотрим что получится если x равнялся нулю значение функции у нас равнялась единице но теперь мы должны умножить единица на минус 2 с половиной а значит в нуле значение функции будет равно минус двум с половиной давайте отмечу эту точку вот это у меня будет минус 3 а вот это плюс 3 в нули функции примет значение минус 2 с половиной проведу из этой точки горизонтальную пунктирную прямую она нам еще пригодится когда значение функции косинус 1 3 x равнялось нулю не важно на какой коэффициент мы его умножим она так и останется равным нулю дальше когда косинуса 1 3 x равнялся минус единицы а это было когда x равнялся 3p что произойдет с конечным графиком косинус 1 3 x равен минус 1 минус 1 умножить на минус 2 с половиной равно плюс двум с половиной давайте проведем от точки плюс два с половиной пунктирную горизонтальную прямую значение функции будет равно плюс двум с половиной что соответствует вот этой точке дальше опять же если косинус 1 3 x равняется нулю то на какой бы коэффициент мы не умножали это значение все равно получится 0 и наконец когда x равнялся 6p косинус 1 3 x равнялся единице что получится если умножить единицу на минус 2 с половиной получится минус 2 с половиной а значит мы вернемся вот в эту точку теперь мы можем построить график он пойдет примерно вот таким образом смотрите что произошло поставив одну треть перед x мы растянули график по горизонтали и увеличили период в 3 раза если бы мы умножали итоговые значения на 2 с половиной это означало бы вертикальные растяжение но мы умножаем на минус 2 с половиной а значит мы не просто увеличиваем амплитуду но и вертикальный переворачиваем график амплитуда конечного графика равна двум с половиной поскольку максимум отличается от среднего значения на 2 с половиной или можно рассуждать так разница между минимумом и максимумом равна 5 половины пейте это два с половиной но мы не просто умножаем график на 2 с половиной если бы мы умножали график на 2 с половиной мы бы получили примерно такую картину но мы умножаем его на минус 2 с половиной а значит мы должны отразить его относительно оси x и получится вот такой график его амплитуда равна двум с половиной до кроме того мы зеркально отражаем график относительно оси x спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить