Преобразование синусоиды: вертикальное растяжение и горизонтальное отражение

нас просят построить график функции y равно двум синусом минус x на закрытом промежутке от минус 2 до 2 п для этого давайте сначала построим график функции y равно синус x затем подумаем как у меняется с добавлением двойки перед синусом и минуса перед x итак начнем с графика обычного синуса это у нас будет ось x это ось y и нас интересует промежуток от минус 2 пет до 2п пусть это у нас будет минус 2 пи посередине будет . минус п это естественно . 0 здесь будет плюс п и наконец 2пи теперь по вертикали это . один это . 2 здесь будет -1 здесь минус 2 скопирую координатную плоскость чтобы потом использовать еще раз и так давайте построим график функции синус x чему равен синус если x равен нулю если x равен нулю синус x также равен нулю давайте для удобства изобразим единичную окружность когда мне нужно узнать значения тригонометрических функций я всегда представляю в уме единичную окружность это ось x это ось y единичная окружность на первом графике у нас по оси x откладывается угол и так окружность с радиусом единица если угол равен нулю то синус этой игры координаты вот этой точки то есть тоже равен нулю теперь давайте увеличим угол до пи пополам синус пи пополам единица отметим эту точку на графике синус пи равен нулю синус 3 пи пополам равен минус единице а синус 2 п снова равен нулю то есть график на этом промежутке от 0 до 2п будет выглядеть примерно вот таким образом теперь давайте построим его отрицательную часть для этого мы пойдем по единичной окружности в отрицательном направлении синус минус п пополам равен минус единице отметим эту точку на графике в точке минус синус в вращается в ноль минус 3 пи пополам это вот такой угол в этой точке синус будет равен единице а в точке -2 пи синусного будет равен нулю и кривая пойдет примерно вот так это мы достроили график на промежутке от минус 2 до 0 получившаяся картинка хорошо соответствует всему что мы знаем про синусы перед значением x стоит коэффициент единица значит период синуса будет равняться 2 и разделить на модуль единицы очевидно это равняется просто 2п и на графике тоже видно что период равен 2п минимальная длина повторяющегося фрагмента равна 2п чему равна амплитуда этого графика синус колеблется между значениями единица и минус единица разность между максимумом и минимумом равна двум половина двойки единица или можно рассуждать по-другому мы на единицу отходим от среднего значения и так с этим все понятно давайте теперь изменим условия построим график функции y равен двум синусом x что произойдет теперь когда вместо синусы x у нас два синуса x как изменится график по сути мы с вами умножили функцию на коэффициент 2 поэтому любое значение первой функции станет вдвое больше 2 умножить на 0 это 0 2 умножить на 1 это 2 в точке пи пополам 2 умножить на 0 это снова 0 2 умножить на минус единицу это минус 22 умножить на 0 это 0 то есть в промежутке от 0 до 2п график пойдет примерно вот так это же самое будет в отрицательной части 2 умножить на минус 1 это минус 22 умножить на 0 это 0 2 умножить на 1 это 2 2 умножить на 0 это 0 и так отрицательная часть графика будет выглядеть вот таким образом надеюсь вы поняли принцип что произошло разница между минимальным и максимальным значениями увеличилось вдвое она стала равна четырем половина этой разнице равна двум а значит чему стала равна амплитуда амплитуды теперь равна двум амплитуда равна модулю коэффициенты перед синусом модуль 2 это 2 это логично раньше apple туда равнялась единице а теперь мы удаляемся от среднего значения на вдвое большее расстояние поскольку мы умножили значение функции в каждой точке на 2 теперь давайте вернёмся к синусу x и изменим этот график немного иначе построим график функции синус минус x снова добавлю координатную плоскость теперь моя задача изобразить график функции y равно синусу минус x я пока обойдусь без двойки мы сравним графике функции синус x и синус минус x итак посмотрим что произойдет со значениями когда x равен нулю синус минус x будет по-прежнему синусом 0 то есть и равен нулю но что будет если взять пи пополам если x равен пи пополам то аргументом синусы будет противоположное значение мы умножаем x на минус единицу то есть когда x равен пи пополам since считается от значения минус и пополам чему равен синус минус п и пополам по первому графику мы видим что он равен минус единица если x равен пи синус минус п будет равен нулю если x равен 3 пи пополам мы должны посчитать синус минус 3 пи пополам а это равно единице и опять же когда x равен двум пи синус минус 2 пи равен нулю обратите внимание что произошло когда я строила график на промежутке от 0 до 2п я смотрела соответствующие отрицательные точки 1 графика по сути мы взяли вот этот фрагмент 1 графика от минус 2 пи до нуля и отразили горизонтально относительно оси x вот что получается если аргумент x заменить на минус x та же логика поможет нам достроить отрицательную части графика когда x равен минус и пополам умножаем на -1 получаем синус пи пополам а он равен единице то есть мы дальше переворачиваем эту часть графика относительно оси y и получается что мы отразили весь график синуса x относительно оси y вот и нас ось x и надеюсь вы видите что второй график это отражение 1 замена значения икса в аргументе на минус x приводит к отражению графика а теперь давайте рассмотрим комбинацию обоих преобразований коэффициенты 2 перед синусом и значение минус x в аргументе еще раз вставлю координатную плоскость и теперь сделаем то что у нас просят в задача и так построим график функции y равен двум синусом минус x зная все что мы с вами сейчас проделали как будет выглядеть этот график как преобразуется график функции синус x чтобы получилось два синуса минус x на этот вопрос можно ответить двумя способами можно сначала умножить синус на 2 получится 2 синус x а затем отразить его горизонтально чтобы получить минус x в аргументе что получится давайте я обведу части графика которую собираясь отразить это промежуток от минус 2 пи до нуля и теперь зеркальное и переверну относительно оси y сначала график пойдет вниз затем вернется в ноль дальше станет положительным и снова вернётся в ноль что я сделала я отразила график функции 2 синус и x относительно оси y и получила график 2 синуса минус x а чтобы изобразить участок от минус 2 пи до нуля нужно взять участок левого графика от 0 до 2п и отразить сначала он пойдет вверх затем снова вниз подрисую поаккуратнее вниз и снова вверх и так это отражение фрагмента от 0 до 2п а можно сделать и по-другому взять график синуса минус x и получить из него график 2 синусов минус x обратите внимание чем отличаются функции синус минус x едва синуса минус x чем отличаются эти два графика мы умножили первую функцию на 2 тем самым увеличив вдвое амплитуду и последний вопрос который я хочу рассмотреть как связанной периоды функций 2 синус и минус x и синус x предлагаю вам сначала подумать самостоятельно и так опять же можно пойти двумя способами можно взглянуть на графике а можно вычислить по формуле надеюсь оно для вас уже успела стать интуитивно понятной чтобы найти период синусоиды нужно взять два пи и разделить на модуль коэффициента перед аргументом таким образом был знаем насколько быстрее аргумент достигнет 2p модуль минус единице равен единице значит период равен 2п получается что у нашей функции точно такой же период как и у синусы x это видны на графиках мы делаем полный цикл за 25 единиц здесь тоже полный цикл 2 пи и здесь полный цикл 2пи в чем же разница период остался тем же самым но все равно важно не забывать о минусе перед аргументом он не изменил период но он изменил внешний вид графика с увеличением значения x после 0 график начинает идти не вверх как у обычного синуса а вниз поскольку мы считаем синус от значения минус x углы получается отрицательными поэтому и синус тоже сначала становится отрицательным или можно сказать что минус перед значением x отражает график синуса относительно оси x верхние два графика зеркальные отражения друг друга и нижние два графика тоже зеркальные отражения друг друга амплитуда левого нижнего вдвое больше амплитуды левого верхнего амплитуда правого нижнего вдвое больше амплитуды правого верхнего спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить