If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:8:21

Нахождение амплитуды и периода функции по уравнению

Транскрипция к видео

нас просят найти амплитуду и период функции y равно минус 1 2 умножить на косинус 3x и для начала давайте разберемся что это вообще такое амплитуда амплитудой периодической функции равна половине расстояния между ее минимальным и максимальным значениями давайте для примера я изображу периодическую функцию она периодически колеблется между двумя значениями между максимумом и минимумом мы должны вычислить разность между этими значениями и половина этой разности и будет амплитуда иными словами амплитуда это отклонение функции от ее среднего положения нам дана функция y равно минус одна вторая о синуса 3x чему равна амплитуда этой функции самый простой способ определить амплитуду это посмотреть на коэффициент перед функцией косинуса или перед синусом если бы мы рассматривали синус в нашем случае косинус умножается на минус одну вторую таким образом амплитуда будет равняться модулю коэффициента минус одна вторая то есть 1 2 вы спросите почему я отбрасываю знак почему я беру модуль от коэффициента дело в том что минус отражает функцию относительно горизонтали но никак не влияет на расстояние между максимальным и минимальным положением вы снова спросите а почему я всё свела к коэффициенту перед косинусом мы уже с вами говорили о том что как косинус так и синус колеблется в пределах от минус единицы до единицы это и есть минимум и максимум этой функции таким образом если перед косинусом нет коэффициента или есть коэффициент минус единица амплитуда будет равна единице но мы изменяем ее на вот такую величину теперь амплитуда равна 1 2 далее давайте рассмотрим период и первое о чем я вас хочу спросить что вообще означает период цикличный а точнее периодической функции давайте на этом графике построю оси пусть вот это у меня будет ось y а горизонтали ось пусть будет осью x и так период периодической функции это длина наименьшего интервала который полностью содержит повторяющийся фрагмент что повторяется в нашем случае мы движемся вниз и снова вверх затем мы снова движемся вниз и вверх таким образом в нашем случае длина наименьшего интервала который полностью содержит повторяющийся фрагмент это отрезок между вот этой точкой и вот этой это и есть период мы можем взять отрезок между вот этой точкой и вот этой это тоже один период причем это не единственный повторяющийся интервал который вы можете выбрать можно начать движение отсюда подняться затем снова опустится это тоже будет наименьшим повторяющимся интервалом а можно пойти в обратном направлении тогда повторяющийся интервал закончиться вот здесь но в любом случае длина повторяющегося от риска будет одинаковой и так чему же равен период данной нам функции чтобы узнать период мы должны взять 2 пи и разделить на модуль коэффициента перед значением x в нашем случае мы делим на модуль 3 получается 2 пи разделить на 3 вы можете спросить почему мы считаем именно по такой формуле давайте рассмотрим функцию косинус икс или синус x период этих функций равен 2п представьте себе единичную окружность если мы начнем движение от нуля то через два пи радиан мы снова окажемся в начальной точке то есть через два пи мы вернёмся туда откуда начали аналогично если мы начнем двигаться в отрицательном направлении через минус два пи радиан мы вернемся в точку начала если взять любой угол то добавив к нему 2пи и попадем в ту же самую точку либо можно вычесть 2 пи и мы тоже вернемся в ту же точку таким образом период функции косинуса и синуса равен 2п и в нашем случае коэффициент перед значением x показывает во сколько раз быстрее мы сделаем оборот в два пи радиан а значит во столько же будет меньше период то есть мы сделаем полный оборот в 2 пи втрое быстрее вы спросите зачем мы берем модуль если бы коэффициент был отрицательным он бы показывал во сколько раз быстрее мы достигнем точки минус 2 пи так или иначе мы совершим полный оборот а теперь давайте построим график функции минус одна вторая косинус 3x отложим координатные оси вертикальная ось это ось y горизонтальная ось x вот эта . начало координат здесь x и y равны нулю теперь давайте отметим точку y равны и 1 2 в нашем случае функция не сдвигается вверх или вниз чтобы сдвинуть функцию по вертикали нужно добавить константу вне косинуса и так вот эта . + 1 2 а вот эта . минус одна вторая эти пунктирные линии помогут мне начертить график что будет если x равен нулю косинус нуля единица но мы должны умножить единицу на минус одну вторую то есть в нуле функция примет значения минус одна вторая после этого она начнет расти пока не достигнет максимума затем она начнет уменьшаться вернется в начальную точку чему равно вот это расстояние чему равна длина отрезка от этой точки до этой мы знаем период функции два pin 3 это значит что до этой точке наша функция доберется втрое быстрее чем обычный косинус то есть x координата этой точки два pin 3 а если мы отложим вправо еще один отрезок длиной 2 pin 3 мы снова окажемся в той же самой точке теперь это . 4pin 3 и в ней мы завершили ещё один цикл то есть длина этого отрезка это период можно проделать тоже самое в отрицательном направлении вот эта точка у нас будет равняться минус 2 и на 3 амплитуда этой функции равна одной второй мы можем посмотреть на нее с двух точек зрения разницы между максимумом и минимумом равна единице половина единиц и 1 2 а можно сказать что функция отходит на одну вторую от своего среднего значения как в положительном так в отрицательном направлении спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить