Расчёт датирования калий-аргоновым (K-Ar) методом

В предыдущем видео мы провели небольшой обзор датирования калий-аргоновым методом. Теперь разберем конкретный пример. Я использую математику, немного алгебры, или экспоненциальную зависимость, для того,чтобы показать вам, как, по сути, можно вычислить возраст вулканической породы с использованием этой техники и математики. Мы знаем, что всё, что подвержено радиоактивному распаду, можно описать экспоненциальной зависимостью. И нам известно, что есть обобщённый способ охарактеризовать это. Мы углубляемся в детали этого и доказываем это в других видео. Помним, что количество является функцией времени. Так что если предположить, что N — это количество радиоактивного образца, которое у нас есть в некоторый момент времени, то нам известно, что оно равно первоначальному количеству, которое у нас было. Запишем как N с индексом 0, умножить на e^(−kt), где константа относится к периоду полураспада этого вещества. Чтобы проделать это на примере калия-40, вспомним, что если прошло 1,25 млрд лет, количество вещества, которое у нас остаётся, будет равно половине от первоначального количества. Запишем это так. Начинаем с N₀, чему бы оно ни было равно. Это может быть 1 грамм, килограмм, 5 грамм — сколько угодно — с чего бы мы ни начали, берём e в степени −k умножить на 1,25 млрд лет. Это период полураспада калия-40. Итак, 1,25 млрд лет. Мы знаем, что к концу этого времени останется лишь половина образца. У нас останется половина N₀. С чего бы мы ни начали, спустя 1,25 млрд лет, останется половина. Поделим обе части на N₀. Чтобы найти k, можем взять натуральный логарифм от обеих частей. Получаем, что натуральный логарифм от 1/2 — у нас больше нет этого N₀ — равен натуральному логарифму этого. Натуральный логарифм — это, говоря просто, то, в какую степень я должен возвести е, чтобы получить е в степени −k умножить на 1,25 млрд? Так что натуральный логарифм от этого — степень, в которую я должен возвести е, чтобы получить е в степени −k умножить на 1,25 млрд. Это просто −k умножить на 1,25 млрд. Или можно записать как −1,25 — я запишу «умножить» — на 10 в девятой степени k. Это то же самое, что 1,25 млрд. У нас есть минус и есть наше k. Теперь, чтобы найти k, можно поделить обе части на −1,25 млрд. И получаем k. Я переверну здесь стороны. k равно натуральному логарифму 1/2 умножить на −1,25 умножить на 10^9. Теперь мы можем умножить минус один на верхнюю часть. Можно рассматривать это как умножение числителя и знаменателя на минус один, так что минус появляется сверху. Это можно представить как 1,25 * 10^9. Это просто 1,25 млрд. Запишу другим цветом. Отрицательный натуральный логарифм — я просто могу записать это так. Если у нас есть натуральный логарифм b… Мы знаем из свойств логарифмов, что это то же самое, что и натуральный логарифм b в степени a. Так что отрицательный натуральный логарифм 1/2 — это то же самое, что и натуральный логарифм 1/2 в степени (−1). Это одно и то же. Всё, что угодно, в отрицательной степени — это просто обратное число. Так что это просто натуральный логарифм 2. Отрицательный натуральный логарифм от 1/2 — это просто натуральный логарифм 2. Так что мы можем вычислить наше k. Это, по сути, натуральный логарифм 2 поделить на период полураспада вещества. Мы можем обобщить это на случай, если рассматриваем некоторое другое радиоактивное вещество. Теперь подумаем о такой ситуации… Теперь, когда мы нашли k, подумаем о примере, когда мы находим в некотором образце… Скажем, находим 1 мг калия. Я просто выбираю произвольное число. Обычно их не измеряют непосредственно, нам важны лишь относительные величины. Допустим, мы смогли подсчитать, что калия оказался 1 мг. И предположим, что аргон — на самом деле, я хочу сказать «калий-40» найден, и допустим, что аргон-40 найден — предположим, его 0,01 мг. Как можно использовать эту информацию подобно тому, что мы только что вычислили, используя период полураспада, для вычисления возраста этого образца? Как нам подсчитать возраст вот этого образца? Что ж, нам нужно вычислить… Известно N, количество, которое у нас остаётся. Это вот это выражение. Мы знаем, что у нас остался 1 мг. Хорошо. Это будет равно некоторому начальному количеству. Когда мы используем оба этих значения для вычисления первоначального количества — умножить на e^(−kt). Известно, чему равно k. Позднее мы это рассчитаем. Так что вот это k. Нужно вычислить первоначальное количество. Мы знаем, что такое k, и затем можем найти t. Каков возраст этого образца? Чтобы вычислить первоначальное количество, мы должны вспомнить, что каждый атом аргона-40, который мы видим, — это результат распада… Когда у вас есть калий-40, когда он распадается, 11% распадается в аргон-40, а остальное (89%) распадается в кальций-40. Мы убедились в этом в предыдущем видео. Так что сколько ни есть аргона-40, это 11% продукта распада. Так что нужно найти суммарное число атомов калия-40, которые распались с тех пор, как оказались в лаве. И мы уже говорили, что всё, что было здесь раньше, любой атом аргона-40, который был здесь ранее, мог бы выйти из жидкой лавы до того, как она застыла или затвердела. Чтобы вычислить, из какого количества калия-40 это образовалось, просто поделим это на 11%. Можно сказать, что начальное К, начальное количество калия-40, будет равно количеству калия-40, которое у нас есть сегодня. 1 мг… Плюс количество калия-40, которое понадобилось, чтобы получить это количество аргона-40. У нас есть это количество аргона-40 — 0,01 мг. И вот это количество миллиграммов, это, в действительности, лишь 11% от начального количества калия-40, из которого оно образовалось. Остальное превратилось в кальций-40. Мы делим это на 11%, или на 0,11. Это не точное число, но оно даст вам общую идею. Так что наше начальное… В действительности, это вот это значение. Я назвал это N₀. Это будет равно — я не буду производить математические расчёты — у нас есть 1 мг, который остался, равно 1 мг — это то, что мы нашли, — плюс 0,01 мг поделить на 0,11. А затем всё это умножаем на e^(−kt). И здесь вы видите, когда мы хотим найти t, предполагая, что нам известно k, а теперь нам действительно известно k, что в действительности, абсолютное количество… Не важно. Важно соотношение. Потому что, если мы находим t, нужно поделить обе части этого уравнения на вот это количество. Вы получаете с этой стороны… С левой стороны. Поделим обе части. Получается 1 мг поделить на это количество — я запишу это синим — поделить на это количество, что равно 1 плюс — на самом деле, я лишь предполагаю, что здесь единицы измерения — миллиграммы. Получается 1 поделить на это количество, что равно 1 плюс 0,01 разделить на 11%. Равно e^(−kt). Теперь, если нам нужно найти t, нужно взять натуральный логарифм от обеих частей. Это равно вот этому. Нужно взять натуральный логарифм от обеих частей. Получается натуральный логарифм от 1 поделить на (1 + 0,01/0,11), то есть 11%, равно (−kt). Теперь, чтобы найти t, нужно поделить обе части на (−k). Я запишу это здесь. Получается немного громоздко с точки зрения математики, но мы доберёмся до ответа. Получается натуральный логарифм (1/(1 + 0,01/0,11)) поделить на (−k). Чему же равно (−k)? Мы делим обе части этого уравнения на (−k). (−k) — это число, противоположное этому, поделить на отрицательный натуральный логарифм 2, деленного на 1,25 умножить на 10^9. Теперь можем использовать калькулятор и вычислить, чему равно время. Оно будет измеряться в годах, потому что именно так мы рассчитали эту константу. Я использую TI-85. Посмотрим. Сначала вычислю эту часть. 1 поделить на 1 плюс 0,01 поделить на 0,11. Вот эта часть. Получается вот это число. Затем нужно взять от этого натуральный логарифм. Возьмём натуральный логарифм нашего предыдущего ответа. Это натуральный логарифм 0,9166667. Получается (−0,087). Это будет наш числитель. Мы поделим его. Вот это число — это наш числитель. Мы поделим его на минус… Нужно правильно расставить скобки. Натуральный логарифм двух — вот здесь — поделить на (1,25 * 10^9). Это отрицательный натуральный логарифм 2 разделить на 1,25. е9 обозначает умножение на 10^9. Я закрыл обе скобки. Теперь барабанная дробь! Мы получим наше время t в годах. Посмотрим, сколько. Это тысячи… Так что это 3 000. Получается 156,9 или 157 млн лет, если округлить. Так что это образец возрастом около 157 млн лет. Получаем ответ. Я понимаю, что мы использовали математику, но она нужна вам и вы должны были изучить её в курсе элементарной математики или алгебры, если рассматриваете экспоненциальное возрастание или распад. Но моя цель была в том, чтобы показать вам, что это не какой-то магический обряд. Я дал вам такое сложное и подробное объяснение, а теперь вы думаете, что, наверное, после этого должны быть сложнейшие математические вычисления. Но математика — это то, с чем вы обязательно столкнётесь в дальнейшей учебе. Если вам попадётся образец с таким соотношением аргона-40 и калия-40, вы сможете проделать подобные математические вычисления. И сможете подсчитать, что возраст этого образца вулканической породы составляет 157 млн лет. Subtitles by the Amara.org community