Основное содержание

Физика

Course: Физика > Модуль 3

Урок 5: Наклонные поверхности и трение

Что такое наклонные поверхности?

Поверхности не бывают идеально горизонтальными. Учимся работать с углами!

Что такое наклонная плоскость?

Горки в парке, пандусы для подъёма и заезда, рампы для погрузки и разгрузки фур — это всё примеры наклонных плоскостей. Наклонная плоскость — это диагонально расположенная поверхность, на которой предметы могут лежать (или стоять), скользить (вверх или вниз) или катиться (вверх или вниз).

Наклонные плоскости полезны, поскольку позволяют найти силу, необходимую для вертикального перемещения предметов. Это один из шести так называемых классических простейших механизмов.

[Что такое «простейшие механизмы»?]

Как использовать второй закон Ньютона с наклонными плоскостями?

Чаще всего мы решаем задачи с силами, прибегая ко второму закону Ньютона для горизонтали и вертикали. Но в случае с наклонными плоскостями нас чаще всего интересует движение параллельно наклонной поверхности, поэтому удобнее всего использовать второй закон Ньютона в параллельном и перпендикулярном наклонной плоскости направлениях.

Это значит, что мы, как правило, будем применять второй закон Ньютона перпендикулярно \perp и параллельно \parallel поверхности наклонной плоскости.

a, start subscript, \perp, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \perp, end subscript, divided by, m, end fraction, a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction

Поскольку тело, как правило, скользит параллельно наклонной поверхности и не движется перпендикулярно ей, почти всегда мы будем полагать, что a, start subscript, \perp, end subscript, equals, 0.

[Что? Почему это перпендикулярное ускорение равно нулю?]

Как найти \perp и \parallel составляющие силы притяжения?

Поскольку мы будем применять второй закон Ньютона перпендикулярно и параллельно поверхности наклонной плоскости, нам надо будет разложить силу притяжения Земли на перпендикулярную и параллельную составляющие.

Эти составляющие силы притяжения Земли показаны на схеме ниже. Будьте внимательны: многие часто путаются, какую именно функцию — start text, с, и, н, у, с, end text или start text, к, о, с, и, н, у, с, end text — следует взять для каждой из составляющих.

[Так, расскажите, пожалуйста, об этих составляющих поподробнее.]

Чему равна сила нормальной реакции F, start subscript, N, end subscript для тела, лежащего на наклонной поверхности?

Сила нормальной реакции F, start subscript, N, end subscript всегда направлена перпендикулярно поверхности. Значит, сила нормальной реакции наклонной плоскости также перпендикулярна самой плоскости.

Если в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости, нет ускорения, то силы в этом направлении должны уравновешивать друг друга. Если взглянуть на схему ниже, мы увидим, что сила нормальной реакции должна быть равна перпендикулярной составляющей силы притяжения, только так результирующая сила в этом направлении будет равна нулю.

Иными словами, если тело лежит на наклонной плоскости или скользит по ней:

F, start subscript, N, end subscript, equals, m, g, start text, c, o, s, end text, theta

[Я не совсем понял. Объясните, почему так?]

Как решаются задачи на наклонные поверхности?

Пример 1. Катание на санках

Ребёнок скатывается с горки на санках. Угол между горкой и горизонтом равен theta, equals, 30, start superscript, o, end superscript, а коэффициент трения скольжения между санками и горкой равен mu, start subscript, k, end subscript, equals, 0, comma, 150. Суммарная масса ребёнка и санок равна 65, comma, 0, start text, space, к, г, end text.

С каким ускорением санки скатятся с горки?

Начнём с диаграммы сил.

Воспользуемся вторым законом Ньютона в направлении, параллельном наклонной плоскости, и получим:

a_\parallel=\dfrac{\Sigma F_\parallel}{m} \quad \text{(воспользуемся вторым законом Ньютона в направлении, параллельном наклонной плоскости)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, в, о, с, п, о, л, ь, з, у, е, м, с, я, space, в, т, о, р, ы, м, space, з, а, к, о, н, о, м, space, Н, ь, ю, т, о, н, а, space, в, space, н, а, п, р, а, в, л, е, н, и, и, comma, space, п, а, р, а, л, л, е, л, ь, н, о, м, space, н, а, к, л, о, н, н, о, й, space, п, л, о, с, к, о, с, т, и, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, F, start subscript, k, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, п, а, р, а, л, л, е, л, ь, н, ы, е, space, с, и, л, ы, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, k, end subscript, F, start subscript, N, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, ф, о, р, м, у, л, у, space, с, и, л, ы, space, т, р, е, н, и, я, space, с, к, о, л, ь, ж, е, н, и, я, right parenthesis, end text

a_\parallel=\dfrac{mg\text{sin}\theta-\mu_k(mg\text{cos}\theta)}{m} \quad \text{(подставляем } mg\text{cos}\theta \text{ вместо силы нормальной реакции } F_N)

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, k, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, end text, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, start text, space, в, м, е, с, т, о, space, с, и, л, ы, space, н, о, р, м, а, л, ь, н, о, й, space, р, е, а, к, ц, и, и, space, end text, F, start subscript, N, end subscript, right parenthesis

a_\parallel=\dfrac{\cancel mg\text{sin}\theta-\mu_k(\cancel mg\text{cos}\theta)}{\cancel m} \quad \text{(сокращаем массу в числителе и знаменателе)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, start cancel, m, end cancel, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, k, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, end cancel, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, start cancel, m, end cancel, end fraction, start text, left parenthesis, с, о, к, р, а, щ, а, е, м, space, м, а, с, с, у, space, в, space, ч, и, с, л, и, т, е, л, е, space, и, space, з, н, а, м, е, н, а, т, е, л, е, right parenthesis, end text

a_\parallel=g\text{sin}\theta-\mu_k(g\text{cos}\theta)\quad \text{(сдерживаем удивление, узнав, что ускорение не зависит от массы)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, k, end subscript, left parenthesis, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, с, д, е, р, ж, и, в, а, е, м, space, у, д, и, в, л, е, н, и, е, comma, space, у, з, н, а, в, comma, space, ч, т, о, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, space, н, е, space, з, а, в, и, с, и, т, space, о, т, space, м, а, с, с, ы, right parenthesis, end text

a_\parallel=(9{,}8\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2})\text{sin}30^o-(0{,}150)(9{,}8\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2})\text{cos}30^o\quad \text{(подставляем числовые значения)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, s, i, n, end text, 30, start superscript, o, end superscript, minus, left parenthesis, 0, comma, 150, right parenthesis, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 30, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, ч, и, с, л, о, в, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, 3, comma, 63, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, о, с, т, а, л, о, с, ь, space, т, о, л, ь, к, о, space, п, о, с, ч, и, т, а, т, ь, right parenthesis, end text

Пример 2. Пандус для автомобиля

Некая женщина строит дом и хочет знать, под каким углом нужно построить бетонный пандус к гаражу, чтобы автомобиль мог стоять на нём, не съезжая. Она знает, что коэффициент трения покоя между шинами и бетонным покрытием равен 0, comma, 75.

Под каким максимальным углом к горизонту нужно построить бетонный пандус, чтобы припаркованный на нём автомобиль мог стоять, при этом не съезжая вниз?

Начнём со второго закона Ньютона для параллельного направления.

a_\parallel=\dfrac{\Sigma F_\parallel}{m} \quad \text{(воспользуемся вторым законом Ньютона в направлении, параллельном наклонной плоскости)}

a_\parallel=\dfrac{mg\text{sin}\theta-F_s}{m} \quad \text{(подставим параллельные силы притяжения и трения покоя)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, F, start subscript, s, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, и, м, space, п, а, р, а, л, л, е, л, ь, н, ы, е, space, с, и, л, ы, space, п, р, и, т, я, ж, е, н, и, я, space, и, space, т, р, е, н, и, я, space, п, о, к, о, я, right parenthesis, end text

0=\dfrac{mg\text{sin}\theta-F_s}{m} \quad \text{(поскольку автомобиль не скользит, ускорение равно нулю)}

0, equals, start fraction, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, F, start subscript, s, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, п, о, с, к, о, л, ь, к, у, space, а, в, т, о, м, о, б, и, л, ь, space, н, е, space, с, к, о, л, ь, з, и, т, comma, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, space, р, а, в, н, о, space, н, у, л, ю, right parenthesis, end text

0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, F, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, у, м, н, о, ж, а, е, м, space, о, б, е, space, ч, а, с, т, и, space, р, а, в, е, н, с, т, в, а, space, н, а, space, end text, m, right parenthesis

0=mg\text{sin}\theta-F_{s \text{ макс}} \quad \text{(предполагаем, что }F_s \text{ равно максимальному значению }F_{s\text{ макс}})

0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, F, start subscript, s, start text, space, м, а, к, с, end text, end subscript, start text, left parenthesis, п, р, е, д, п, о, л, а, г, а, е, м, comma, space, ч, т, о, space, end text, F, start subscript, s, end subscript, start text, space, р, а, в, н, о, space, м, а, к, с, и, м, а, л, ь, н, о, м, у, space, з, н, а, ч, е, н, и, ю, space, end text, F, start subscript, s, start text, space, м, а, к, с, end text, end subscript, right parenthesis

[Почему мы взяли максимальную силу трения покоя?]

0=mg\text{sin}\theta-\mu_s F_N\quad \text{(подставляем формулу для максимальной силы трения покоя})

0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, F, start subscript, N, end subscript, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, ф, о, р, м, у, л, у, space, д, л, я, space, м, а, к, с, и, м, а, л, ь, н, о, й, space, с, и, л, ы, space, т, р, е, н, и, я, space, п, о, к, о, я, end text, right parenthesis

0=mg\text{sin}\theta-\mu_s (mg\text{cos}\theta)\quad \text{(подставляем выражение для силы нормальной реакции наклонной плоскости})

0, equals, m, g, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, в, ы, р, а, ж, е, н, и, е, space, д, л, я, space, с, и, л, ы, space, н, о, р, м, а, л, ь, н, о, й, space, р, е, а, к, ц, и, и, space, н, а, к, л, о, н, н, о, й, space, п, л, о, с, к, о, с, т, и, end text, right parenthesis

0, equals, start cancel, m, g, end cancel, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, g, end cancel, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, р, а, з, д, е, л, и, м, space, н, а, space, end text, m, g, right parenthesis

0=\text{sin}\theta-\mu_s (\text{cos}\theta)\quad \text{(сдерживаем удивления, поняв, что угол не зависит от массы автомобиля)}

0, equals, start text, s, i, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, с, д, е, р, ж, и, в, а, е, м, space, у, д, и, в, л, е, н, и, я, comma, space, п, о, н, я, в, comma, space, ч, т, о, space, у, г, о, л, space, н, е, space, з, а, в, и, с, и, т, space, о, т, space, м, а, с, с, ы, space, а, в, т, о, м, о, б, и, л, я, right parenthesis, end text

start text, s, i, n, end text, theta, equals, mu, start subscript, s, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, в, ы, р, а, з, и, м, space, s, i, n, end text, theta, right parenthesis

start fraction, start text, s, i, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, equals, mu, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, р, а, з, д, е, л, и, м, space, н, а, space, c, o, s, end text, theta, right parenthesis

start text, t, g, end text, theta, equals, mu, start subscript, s, end subscript, start text, left parenthesis, з, а, м, е, н, и, м, space, end text, start fraction, start text, s, i, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, start text, space, н, а, space, t, g, end text, theta, right parenthesis

theta, equals, a, r, c, t, g, left parenthesis, mu, start subscript, s, end subscript, right parenthesis, start text, left parenthesis, в, ы, ч, и, с, л, я, е, м, space, а, р, к, т, а, н, г, е, н, с, space, о, б, е, и, х, space, ч, а, с, т, е, й, right parenthesis, end text

theta, equals, a, r, c, t, g, left parenthesis, 0, comma, 75, right parenthesis, start text, left parenthesis, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, ч, и, с, л, о, в, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, right parenthesis, end text

theta, equals, 37, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, о, с, т, а, л, о, с, ь, space, т, о, л, ь, к, о, space, п, о, с, ч, и, т, а, т, ь, right parenthesis, end text

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Сортировать по:

Пока нет ни одной записи.

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.