Соотношение между изображением объекта и фокусным расстоянием (доказательство формулы)

Мы создали несколько видео про двояковыпуклые линзы, где рассматривали параллельные лучи и лучи, проходящие через фокус, чтобы показать, каким могло бы быть изображение объекта. В этом видео мне бы хотелось вывести формулу соотношения между расстоянием от объекта до двояковыпуклой линзы, расстоянием от двояковыпуклой линзы до изображения (обычно на другой стороне) и фокусным расстоянием. Посмотрим, можем ли мы это сделать. Чтобы не мучить вас рисованием прямых линий, я нарисовал их заранее. Вот они Мы можем представить, что эта зелёная фигура — объект. Это объект, а вот 2 розовые точки — фокальные точки. Они находятся на фокусном расстоянии. А сейчас я сделаю то же, что и всегда: проведу параллельный луч от верха стрелки к двояковыпуклой линзе. Он преломляется и проходит через фокальную точку на правой стороне. Проходит весь путь тут. Теперь я нарисую луч, проходящий через фокальную точку на левой стороне. Преломляясь, он становится параллельным. Он пересекается с предыдущим лучом здесь, поэтому нам кажется, что изображение выглядит именно так как оно выглядит. Оно перевёрнуто, реально, и в этом случае больше самого объекта. Хотелось бы понять соотношение этих величин. Посмотрим, можем ли мы обозначить их и, применив геометрию и алгебру, понять, есть ли между ними связь. Для начала возьмём расстояние до объекта. Это расстояние между двумя данными точками. Можем обозначить их здесь, поскольку они уже нарисованы. Это расстояние от объекта. Вот так мы его нарисовали. Это был параллельный луч света. Прежде чем преломился, он прошёл расстояние от объекта до линзы. Вот оно, такое расстояние прошёл этот параллельный луч света. Вот такое расстояние он прошел Это расстояние от изображения до линзы. Вот фокусное расстояние, этот отрезок. Мы также можем увидеть его с этой стороны. Это также фокусное расстояние. Хотелось бы вывести соотношение и нарисовать несколько треугольников. Основная идея в том, чтобы найти подобные треугольники и соотношение, позволяющее связать 3 данные величины друг с другом. Найдём подобные треугольники. Я лучше перерисую этот треугольник, просто переверну его. А с правой стороны диаграммы нарисую такой же треугольник. Если бы я нарисовал его, он выглядел бы так. Поясню ещё раз: это тот же треугольник, только перевёрнутый. Следует удостовериться, что мы рассматриваем одинаковые стороны. Назовём эту длину d0 Тогда эта длина также будет d0. А делаю я это для того, чтобы вы увидели кое-что интересное. Мы можем соотнести этот верхний треугольник с нижним, они подобны. И, соотнеся их, можно получить отношения сторон. Теперь мы можем показать, что этот треугольник подобен этому. Ещё пара подобных действий, и мы сможем получить все соотношения. Главное, что нам следует доказать, — то, что треугольники действительно подобны. Например, что этот угол в точности такой же, что и этот. Они называются противоположными или вертикальными углами, располагаются на противоположных сторонах пересекающихся прямых и равны друг другу. Отсюда следует, что обе линии параллельны друг другу. Углы можно назвать накрест лежащими. Посмотрите на эти углы при параллельных прямых и секущей: из геометрии мы знаем, что этот угол равен этому, раз они являются накрест лежащими углами. Поскольку оба угла, как мы видим, образованы двумя параллельными линиями и секущей, они являются накрест лежащими углами, следовательно, равны. Применим тот же подход для этих углов. Углы этого треугольника такие же, как и этого треугольника. Вот здесь. Следовательно, эти 2 треугольника подобны, при этом мы больше использовали геометрию, чем оптику. Это подобные треугольники. Они подобны, следовательно, у них одинаковые соотношения соответствующих сторон. Поэтому d0 относится к d1.. (они обе противоположны этому розовому углу). Напишем вот здесь: отношение d0 к d1… Это отношение соответствующих сторон, и оно должно быть таким же… Введём несколько обозначений. Точно так же отношение стороны, которую мы назовём А, противоположной этому пурпурному углу, к этой стороне, стороне B… И опять мы можем отметить, что сторона В противоположна пурпурному углу нижнего треугольника, эта сторона соответствует вот этой, они обе противоположны пурпурным углам. Известно, что d0/d1 = A/B. И вот что интересно. Мы смогли связать эти 2 длины и углы. Остаётся привязать эти 2 величины к фокусному расстоянию. Мы могли бы соотнести А и В, А находится на том же треугольнике, что и фокусное расстояние вот тут. Давайте взглянем на этот треугольник, я обведу его другим цветом. Посмотрим на этот зелёный треугольник. Рассмотрим его в сравнении с этим треугольником, тоже зелёным. Хотелось бы доказать, что они подобны. Этот угол и этот будут одинаковы. Это вертикальные углы пересекающихся прямых. Делаем аналогичный вывод: накрест лежащие углы… Вернее, мы делаем 2 вывода. Первый: этот и этот углы — прямые, а если 2 угла 2-х треугольников равны, то равны и третьи углы. Пожалуй, нарисую другим цветом, чтобы не повторяться. Мы можем сказать, что эти 2 угла одинаковы. Другими словами, эта линия, проходящая через линзу, или параллельная линзе, параллельна этому объекту. Можем сделать аналогичные выводы о накрест лежащих углах. Смотрите, есть 2 треугольника с 2-мя парами равных углов, третья пара углов также должна быть равна. А раз так, эти треугольники также подобны, поэтому отношение A к В, при том что обе эти стороны противоположны прямым углам и являются гипотенузами подобных треугольников, равно… Перерисуем немного, вот это f. Фокусное расстояние. f в этом треугольнике относится к этой длине в этом треугольнике, обе они противоположны этому белому углу. Итак, f к этой длине, которая… Всё расстояние — это di, а эта длина равна всему расстоянию минус фокусное расстояние, это di минус фокусное расстояние. A относится к В, как f к di минус фокусное расстояние. И опять у нас есть соотношение между расстоянием до объекта, расстоянием до изображения и фокусным расстоянием. Ещё немного алгебры. Это равно этому, а это этому. Это синее равно этому пурпурному. И ещё немного алгебры. Вот так. Получим, что d0/d1 равно отношению фокусного расстояния к разности расстояния до изображения и фокусного расстояния. Итак, d0/d1 равно отношению фокусного расстояния к разности расстояния до изображения и фокусного расстояния. С помощью алгебры перемножим крест-накрест для упрощения. Умножим d0 на это выражение. Получаем d0 × di - d0 × f (мы просто раскрыли скобки). Простое перемножение, то же самое, что умножение обеих частей на оба знаменателя. Что будет равно di × f. Прибавим выражение к обеим частям равенства. Запишу другим цветом. Мы получили d0 × di = di × f + d0 × f. Вынесем за скобки f, фокусное расстояние, и получим d0 × di = f(di + d0). А теперь поделим обе части на f. Это выражение будет в числителе над f, сокращаем вот тут… Перепишем, что мы получили. d0 × di/f = di + d0. Поделим обе части на d0 × di. Сокращаем и слева получаем, что 1/f равно этому выражению. Можно разложить дробь. То же самое, разложенное на 2 слагаемых = di/(d0 × di) + d0/( d0 × di). Сокращаем дроби: di сокращаются, как и d0, получаем 1/d0 + 1/di. Таким образом, мы вывели полностью рабочую формулу, что и требовалось. А это просто короткая формула, без лишних d0 и di, алгебраическое отношение для выпуклого зеркала, которое показывает отношение фокусного расстояния к расстоянию до объекта. Так мы получили искомую формулу. До встречи в следующих видео. Subtitles by the Amara.org community