If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:14:32

Транскрипция к видео

представьте объект в перед вогнутым зеркалом чтобы понять где будет его отображение нарисуем лучи один луч идёт параллельно затем через фокус все лучи обратимы стрелку можно не рисовать если послать луч в обратную сторону он придёт ровно в ту же точку лучи обратимы параллельный луч пройдет через фокус но если провести луч через фокус он отразится параллельно иными словами можно взять не тот луч а вот этот направить его от верхней точки объекта через фокус и он отразится параллельно так что нарисуем для удобства вот этот и пусть им еще один луч чтобы понять где будет отражение вот эта белая линия главная оптическая ось она проходит через полюс зеркало я нарисую луч из верхней точки объекта до полюса ведь я помню закон отражения угол падения равен углу отражения углы отмеряется от нормали и так вышло что главная оптическая ось которую рисуют вот так является идеальной нормальную в точке полюса она проходит через полюс строго перпендикулярно используем это угол падения равен углу отражения поэтому угол отражение будет вот таким он равен углу падения луча обозначим этот угол тета теперь я знаю где будет отражение изображение объекта будет в точке пересечения лучей его верхняя точка окажется где-то здесь изображение будет выглядеть вот так перевернутым лучи мы нарисовали теперь вычислим эту точку я нарисовал угол на глаз он может на пару градусов отличаться для вычисления положения изображения попробуем вывести формулу чтобы туда можно было подставить как далеко объект от зеркала какое у зеркала фокусное расстояние и в результате получить точное место отражение в этом видео мы выведем формулу сыре ческого зеркало оно покажет связь расстояние до объекта до изображения и до фокуса и так чего начнем в учебниках все кажется сложным но все на самом деле не так плохо я в первый раз подумал что это какая-то математическая магия и мне показалось что все очень запутано но опять же не все так плохо давайте сравним треугольники вот эти углы совпадают и это нам очень поможет найдем треугольники с этими углами первым пусть будет вот этот это основание изображение до полюса зеркало а затем от зеркала до вершины изображения и назад до основания изображения этот треугольник прямоугольный вот этот угол у него прямой а второй угол у него тета теперь найдем другой треугольник с этой датой от вершины объекта до полюса зеркала от зеркала до основания объекта от основания до вершины объекты вот этот голубой треугольник тоже прямоугольный потому что вот этот угол прямой выходит эти треугольники подобны одинаковый угол theta одинаковый прямой угол если вам не нравятся подобные треугольники можно прибегнуть к тригонометрии какая у вас любимая функция у меня тангенс посчитаем тангенс т-ты это отношение противолежащего катета к прилежащему противолежащий катет от этого угла будет вот здесь а что это это высота изображение обозначим ее аж и размер отражения тангенс равен высоте изображения деленной на вот этот прилежащий катет давайте его тоже обозначим это расстояние от изображение до объекты как далеко изображение находится от объекта она отмеряется от полюса зеркало не от этой точке не отсюда от крайней точки зеркало вот отсюда и это расстояние расстояние от изображения до зеркала обозначим д.и. дистанция до изображения это все для нижнего угла но сверху у нас точно такой же угол theta посчитаем тангенс для него здесь тоже противолежащий катет к прилежащему что будет противолежащим катетом здесь высота объекта обозначим аж о прилежащий катет высота объекта и делим ее на прилежащий катет это будет расстояние от зеркала до объекта прилежащий катет это расстояние от зеркала до объекта опять же мы измеряем его от полюса зеркало то есть от самой дальней точке зеркало они от пересечения с изогнутой линией это прилежащий катет для этого угла обозначим его д.о. это очень важно и равенство она буквально говорит само за себя это правда не то что мы искали но вот эта часть имеет свое название формула увеличения правда и и пишут не совсем так если разделить обе части на hq получится аж и деленная на h o равно умножаем обе части на 2 и получим d и деленное на 2а это называется формула увеличение она позволяет вычислить размер изображения мы пытаемся выяснить расстояние до изображения но для этого нам нужно знать его размер если мы узнаем его размер размер изображения равен размеру объекта умноженному на некий коэффициент а именно на отношение расстояния до изображение к расстоянию до объекта но тут есть тонкость посмотрите изображение у нас перевернуты если расстояние до изображения положительное то есть с той же стороны что объект изображение будет перевернутая отрицательные высоты чтобы обозначить перевернутое изображение минусом мы должны добавить минус в нашу формулу высота изображения равна минус h она дык д.о. сюда тоже можно минус дописать теперь если высота получится отрицательной значит изображение перевернуто другими словами если h и получится минус 3 сантиметра значит изображение будет размером 3 сантиметра но перевернута из-за минуса но это не совсем то мы ведь пытаемся вычислить расстояние до изображения зная расстояние до объекта и фокусное расстояние рассмотрим другую пару треугольников теперь вместо этого угла тета рассмотрим вот эти углы как-нибудь их обозначим это уже занято обозначим их фильм эти углы тоже равны если две линии пересекаются тогда вот эти углы всегда будут равны проделаем тот же фокус все что делали с этой повторим с фи возьмем два треугольника у каждого из которых есть угол fi 1 пусть будет от объекта до вершины fi и назад сюда второй треугольник у нас тоже будет с углом фи от этой точки до этой вниз сюда и назад даффи два треугольника этот треугольник и этот треугольник в обоих угол fi в обоих прямой угол эти треугольники также подобные а теперь постараемся применить наши знания тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему для этого в противолежащий катет h o пишем h отделенное на а вот прилежащий уже не д.о. он заканчивается здесь не продолжается до самого зеркала а заканчивается здесь это расстояние до объекта минус вот этот отрезок если вычесть вот этот отрезок из расстояния до объекта останется нужный нам катит это расстояние от фокуса до полюса называется фокусное расстояние и также обозначается f не запутайтесь f у нас и сама . и расстояние от точки до зеркала то есть отрезок тоже то есть прилежащий катет равен расстоянию до объекта минус фокусное расстояние но мы знаем что эти углы равны посчитаем теперь тангенс нижнего здесь у нас противолежащий катет а что это чему равен этот катет он равен высоте изображение поэтому можно записать что тангенс fi на сей раз это отношение высоты изображения к вот этому расстоянию к фокусному расстоянию здесь прилежащий катет это просто фокусное расстояние в знаменателе будет f училась два равенства которые мы сведем в одну формулу сферического зеркала дальше можно пойти разными путями что я сделаю мне с этой стороны не нужны ни аж пони аж и я перепишу в виде hp на h и мы разделим обе части на h и и умножим на 2 минус f получится askona аж и равно d минус f фокусное расстояние деленное на фокусное расстояние здесь проделаем то же самое аж а наш и равно д н а д и разделим обе части на h и и умножим на д.о. левая часть этого равенства совпадает с левой частью здесь у нас аж она аж и равно 2 минус f делённое на f а здесь аж по на h и равно donuts и значит до минус f деленное на f также равняется дело надо и поскольку оба выражения равны аж о на h и значит они все равны 1 приравнены к шона аж и рассмотрим это выражение упростим его левую часть запишут так далее буду писать одним цветом слева будет диана f минус 1 ведь ф-но ф даёт единицу равняется диона д.и. мы разделим обе части на d о получится единица на f&d а сократилась минус единица на d равняется здесь да а у нас тоже сократится останется единица надо и ну вот и все правда чаще единицу надел выносят вправо если прибавим к обеим частям один надео получим ровно то что мы искали единица на расстоянии до объекта плюс единица на расстоянии до изображения равно единице на фокусное расстояние главное это разобраться ведь сама формула несложная она называется формулой сферического зеркала и связывает расстоянии от зеркала до его фокуса до изображения и до объекта иными словами если мы знаем как далеко от зеркала объект и знаем фокусное расстояние зеркало мы можем узнать где конкретно появится отражение вместо того чтобы измерять на глаз с транспортиром мы можем вычислить точное расположение изображение а при помощи формула увеличения можно вычислить его точный размер вас может смутить вот этот минус который я сюда поставил откуда взялся этот минус как узнать что тут вообще с минусом а что с плюсом я обычно считаю как принято в большинстве учебников что фокусное расстояние вогнутого зеркала положительное вот такого зеркало здесь она вогнутая но будь она изогнута в другую сторону вот так это будет выпуклое зеркало и его фокусное расстояние отрицательное это логично если зеркало изогнута так его фокус здесь за зеркалом логично считать его отрицательным если объект с этой стороны стой же где наблюдатель если вы смотрите правильно то ваш глаз с этой стороны здесь перед вами объект а вот здесь вы увидите его отражение и раз объекты ваш глаз с одной стороны а как иначе то расстояние до объекта положительная вообще но всегда положительное если только у вас не система зеркал и вы не в зазеркалье если взять одно зеркало и обойтись без волшебства то расстояние до объекта будет всегда с плюсом согласно нашей системе координат опять же можно условиться по другому но большинство современных книг считают так а с да и не все так просто да и будет с плюсом если отражение с вашей стороны зеркала как у нас вот здесь в нашем случае расстояние до изображения будет положительным если объект отразится с этой стороны зеркала если мы увидим его вот здесь расстояние будет отрицательным если изображение в пяти сантиметрах за зеркалом расстояние до него будет считаться как минус 5 сантиметров если так условиться то формула сферического зеркала даст точную связь 3 расстояний до объекта до изображения и до фокуса формула увеличения в той же системе координат даст точный размер изображения и если он отрицательный значит изображения будет перевернута а если он положительный значит изображение не перевёрнуто и так при помощи пар подобных треугольников мы вывели формулу сферического зеркала которая связывает расстоянии от зеркала до объекта до изображения и до фокуса и по ходу дела мы вывели формулу увеличение которое связывает размеры объекта и изображение с расстояниями до объекта и до изображения и не забывайте про знаки расстояние до объекта всегда положительные но фокусное расстояние может быть с плюсом и с минусом она будет с плюсом для вогнутых зеркал и с минусом для выпуклых расстояние до изображения будет с плюсом если она со стороны наблюдателя перед зеркалом и с минусом если за зеркалом и опять же можно договориться по другому другая система будет не хуже и не лучше на современные учебники обычно считают так