Вычисление скалярного и векторного произведений векторов

когда я рассказывал вам и скалярному векторном произведениях я говорил что они равны произведению длины векторов на косинус или синус угла между ними но что если векторы заданной не геометрически алгебраически в виде координат и мы не знаем какой между ними угол как находить их произведение в таком случае для начала я напомню вам определение обоих произведений скалярное произведение векторов а и b равно произведению модуля этих векторов на косинус угла между ними векторное произведение равно произведению модуля векторов на синус угла между ними и на некий единичные векторы перпендикулярны и обоим исходным вектором направлении вектор n определяется при помощи мнемоническое правило правой руки но что если мы не знаем чему равен угол тета между векторами представьте что вектор из-за даны нам в так называемой инженерной нотации в виде суммы базисных векторов и j и k направлены вдоль осей x и y и z соответственно с некими коэффициентами и так пусть вектор а у нас задан следующим образом 5 и минус 6 j плюс 3k вектор i и j и k единичные векторы направленные вдоль осей x и y и z соответственно коэффициент 5 удлиняет векторы в пять раз коэффициент минус 6 задает длину вектора j а 3 соответственно вектора к вы можете попробовать нарисовать трехмерный чертеж или воспользоваться специальным векторным калькулятором но представьте что эта запись все что вы знаете о векторе а и аналогичным образом нам за дан вектор b он равен минус 2 и плюс 7 j + 4k и как вы уже поняли мы сейчас работаем в трехмерном пространстве если вы будете использовать компьютер то вам нужно будет проделать те же самые действия чтобы ввести векторы в программу вам придется сначала разложить их на базисные векторы или на координаты координаты вектора это коэффициенты перед базисными векторами перечисленные через запятую в скобках не пугайтесь увидев любой из этих вариантов записи и они означают одно и то же но если программы у вас нет тогда как находить произведения таких векторов я не буду приводить доказательств а лишь покажу способ как этому но сделать но оказывается что скалярное произведение векторов такой нотации находится очень просто как найти скалярное произведение векторов а и b легко перемножаем коэффициенты при викторе и перемножаем коэффициенты при викторе джей перемножаем коэффициенты перед векторами к и складываем все три получившегося числа 5 умножить на минус 2 плюс минус 6 умножить на 7 плюс 3 умножить на 4 чему это равно минус 10 минус 42 плюс 12 минус 52 плюс 12 получается минус 40 вот и все скалярное произведение это просто число мне даже самому интересно потом изобразить эти векторы на чертеже чтобы узнать почему скалярное произведение получилось отрицательным коэффициенты я взял совершенно произвольные но видимо эти векторы оказались направленными в разные стороны значит их проекции друг на друга направлены в противоположные стороны и скалярное произведение вышло отрицательным я не хочу сейчас сильно погружаться в наглядное представление того что я делаю моя задача показать как эти действия проделываются алгебраически но суть отрицательного скалярного произведения именно такая и формула для его нахождения очень просто перемножаем первые координаты затем перемножаем вторые координаты и перемножаем 3 координаты затем складываем все три получившихся числа таким образом если два вектора мне даны в виде инженерной нотации или в виде координат найти их скалярное произведение достаточно легко и запутаться здесь практически невозможно а вот векторное произведение находится чуть сложнее в принципе мы могли пойти и привычным путём вычислить длину этих векторов найти угол между ними затем воспользоваться определением и посчитать но я хотел показать вам гораздо более лёгкий способ скалярное произведение находится просто теперь давайте найдем векторное произведение и снова в рамках этого видео я не буду доказывать соответствующую формулу а лишь покажу вам ее применение я скорее всего докажу эти формулы в одном из следующих видео но в любом случае векторное произведение находится чуть сложнее здесь нам придется воспользоваться матрицами первым делом мы должны будем вычислить определитель или determinants большой матрицей повторюсь я не ставлю задачу объяснить наглядный смысл этих формул потому что он и так хорошо виден из определений мы находим насколько эти векторы перпендикулярны друг другу умножаем длину одного вектора на долину проекции 2 затем воспользовавшись правилом правой руки находим направлении результата но если вектор из заданы алгебраически то мы должны будем составить следующую матрицу верхней строке этой матрицы будут стоять сами базисные векторы и j и k как вы помните векторном произведении нам важен порядок множителей поэтому во второй строке мы выписываем координаты первого вектора 5 минус 6 и 3 и в последней строке выписываем координаты второго вектора b минус 27 и 4 а дальше нам нужно найти определитель матрицы 3 на 3 как это делается сначала мы находим так называемый дополнительный минор к элементу и и что такое дополнительный минор мы вычеркиваем столбик и строку в которой находится элемент и и вычисляем определитель оставшийся матрицей 2 на 2 остаются вот такая матрица -6 37 4 и умножаем этот дополнительный минор на сам вычеркнуты элементы а дальше плюсы и минусы чередуются дальше мы пишем минус и вычисляем дополнительный минор к элементу j вычеркиваем столбики строку содержащий элемент j и остается 5 3 минус 2 и 4 умножаем его на сам элемент j дальше снова ставим плюс и вычисляем дополнительный минор к элементу к опять вычеркиваем строку и столбик с элементом к и выписываем что осталось 5 минус 6 минус 2 и 7 и умножаем на элемент к теперь давайте все это посчитаем определители матрицы 2 на 2 считаются очень просто перемножаем элементы на главной диагонали и вычитаем произведения элементов побочной диагонали минус 6 умножить на 4 минус 7 умножить на 3 это равно минус 24 минус 21 умножить на и дальше 5 умножить на 4 это 20 минус минус 2 умножить на 3 это минус 6 умножить на j плюс 5 умножить на 7 это 35 минус минус 2 умножить на минус 6 это плюс 12 умножить на k минус 24 минус 21 это минус 45 и 20 минус -6 это 20 + 6 то есть 26 перед скобками стоит еще один минус получается минус 26 джей и тридцать пять минус двенадцать это 23k мы нашли векторное произведение если вы изобразите эти векторы на графике то увидите что этот вектор -45 и -26 j плюс 23 к окажется перпендикулярен обоим изначальным вектором на этом я пока закончу дальше я попробую придумать графическую задачу чтобы показать что если мы найдём векторное произведение по этой формуле результат действительно окажется перпендикулярен обоим начальным вектором а его направление действительно соответствует правилу правой руки спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них ответим