If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:10:45

Сравнение скалярного и векторного произведений векторов

Транскрипция к видео

в этом видео мы сравним два способа умножать векторы скалярное и векторное произведение изобразим два произвольных вектора рассмотрим разные способы их перемножить а затем в следующем видео мы решим несколько примеров с реальными значениями один из векторов мы обозначим буквой а второй буквой b а угол между ними ттт это сначала вспомним определение произведений а потом поговорим об интуитивном представление о смысле обоих действий итак чему равно скалярное произведение векторов а и b в первую очередь хочу подчеркнуть что оно равно скалярному произведению б на скалярное произведение коммутативное то есть от перемены мест множителей результат не меняется и оно равно произведению модуля обоих векторов на косинус угла между ними теперь давайте вспомним определение векторного произведения чему равно векторное произведение вектора а на вектор b во-первых векторное произведение не коммутативное то есть произведения на b не равно произведению б на результат векторного произведения это вектор и если мы умножим бена мы получим такой же вектор но направленный в противоположную сторону и так это равно произведению модулей векторов а и b пока формула похожа на формулу скалярного произведения но вот первая разницы вместо косинуса здесь будет синус угла между векторами и вот второе важное различие результат скалярного произведения скалярная величина то есть обычное число которого нет направления результат векторного произведения это вектор произведение модулей векторов на синус угла между ними тоже дает число она определяет долину итогового вектора а затем это длина умножается на некий единичный вектор единичный вектор мы обозначаем с крышечкой направлении этого единичного вектора определяется по правилу правой руки при этом единичный вектор n перпендикулярен обоим множителем то есть векторам а и б если посмотреть на мой чертеж то видно что векторы а и б лежат в одной плоскости в плоскости экрана чтобы некий третий вектор был перпендикулярен им обоим он должен быть направлено либо из экрана в вашу сторону либо наоборот зайка когда мы с вами начали изучать векторное произведение то ввели условное обозначение для таких векторов если вектор направлен из экрана в вашу сторону он обозначается кружку он с точкой как будто вы смотрите на наконечник стрелы а вектор направлен и от вас за экран назначается кружком с крестиком вы как будто смотрите на оперение стрелы оба этих вектора перпендикулярны векторам а и б так какой же выбрать поэтому в этом случае надо воспользоваться правилом правой руки указательный палец правой руки вы направляете в сторону вектора средний палец вдоль вектора b и тогда большой палец укажет вам направления единичного вектора н и куда в этот момент смотрит в мой большой палец он направлен от меня за экран и так вектор n будет направлен от вас в сторону экрана или даже за экран это единичный вектор его длина единица а длина итогового вектора векторного произведения за дается произведением стоящим перед ним числовые значения скалярного и векторного произведения очень похожи и там и там мы перемножаем модули векторов в первом случае мы берем косинус тета во втором синус тета но главная разница в том что у векторного произведения есть направление его результат это некий другой вектор перпендикулярный обоим множителем когда мы изучали оба этих произведений то говорили об их интуитивном представлении но я сейчас повторю всю эту информацию в контексте сравнения мне кажется так будет понятнее и начнем мы с вами с а b косинус тета и что означает в этом произведении b косинус тета косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе и опустим перпендикуляр из конца вектора b на вектор а тогда длина отрезка проекции вектора b на виктора и будет равняться произведению модуля б на косинус тета давайте перерисуем чертеж вот у меня векторы а и б угол между ними равен тета опустим перпендикуляр из конца вектора b на вектор а то есть угол между этим пунктирным отрезком и вектором а прямой в нас получится прямоугольный треугольник косинус тета это отношение прилежащего катета к гипотенузе а значит произведение модуля б на косинус тета это проекция вектора b на вектор а то есть длина вот этого отрезка модуль вот этого получившегося вектора и ты есть модуль b умножить на косинус тета таким образом если смотреть на определение скалярного произведения как на произведение модуля а на модуль b косинус тета то первым делом мы берем ту составляющую вектора b которая направлена вдоль вектора и затем мы перемножаем долину этой составляющей на длину вектора и получаем скаляр и произведение то есть некий показатель характеризующий насколько векторы а и б дополняют друг друга насколько хорошо совпадает их направление можно перегруппировать множители и по другому как а косинус тета на б все эти множители обычные скалярные величины мы можем менять их порядок как нам будет угодно тогда косинус тета это проекция вектора а на вектор b вот этот виктор это aqua синус тета а его длина равна модулю а умноженному на косинус тета в обоих случаях получается одно и то же число можно сначала найти проекцию вектора b на вектор а затем умножить на длину вектора а можно сначала найти проекцию вектора а на вектор b а затем умножить на длину вектора b а что такое абэ синус тета если вот эта составляющая вектора равна косинус тета то вот это вторая составляющая равна а синус тета скалярные величины векторном произведении также можно перегруппировывать то есть мы можем представить этот коэффициент в виде а синус тета на модуль вектора b и когда мы берем а синус тета мы рассматриваем нет у составляющую которая направлена вдоль вектора b а наоборот ту составляющую которая направлена перпендикулярно вектору b от него эта составляющая показывает насколько вектора отличается от вектора b чем больше различается их направление тем больше будет составляющая а синус тета затем мы умножаем долину этой составляющей на длину вектора b и на еще один единичный вектор таким образом векторное произведение по сути показывает нам насколько различаются вектор a и b результат векторного произведения иногда называются псевдо вектором есть в математике такое понятие физики векторное произведение применяется для нахождения момента силы или крутящего момента для вычислений связанных с магнитным полем с действием магнитного поля на движущийся заряд в этих случаях возникает некая сила которая лежит совсем в другой плоскости нежели векторы а и б она перпендикулярна обоим этим вектором именно поэтому векторное произведение оказывается полезным аналогично можно было перегруппировать скалярные множители векторного разведение в виде б синус тета умножить на а тогда вы бы получили составляющую вектора b перпендикулярную вектору a b синус тета это будет вот этот вектор и нас будет интересовать та часть вектора b которая лежит перпендикулярно вектору а умножаем галину этой составляющей на вектора и при помощи правила правой руки находим направлении результата правило правой руки была по сути взяты произвольно математики решили определить векторное произведение именно так они могли придумать правило левой руки или какой-то совсем другое правило суть в том что понадобилось некая единая договоренность чтобы у всех векторное произведение получилось одинаковым чтобы все получили одно и то же направление единичного вектора н в следующем видео я приведу вам несколько примеров вычисления скалярного и векторного произведения с конкретными значениями спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них ответим