Скалярное произведение векторов

давайте поговорим о скалярном произведении векторов скалярное произведение это один из двух способов перемножения векторов причем на мой взгляд самый простой из них сначала я дам вам определение скалярного произведения а потом поясню что он и значит с точки зрения интуитивного понимания и так возьмем два вектора вектор а и вектор b скалярное произведение векторов обозначается либо точкой либо перечислением векторов через запятую в скобках оно равно произведению модуля этих векторов на косинус угла между ними возможно на первый взгляд кажется что эта формула произвольно взято с потолка но и сейчас покажу что обозначает это произведение и надеюсь вы тогда лучше поймете ее смысл давайте изобразим два произвольных вектор а вот это у нас вектора и здесь у нас будет вектор b угол между ними я обозначу буквой т то на скалярное произведение векторов можно посмотреть с разных точек зрения справа у нас обычно и произведение скалярных величин значит множители можно переставлять местами то есть это все равно что модуль вектора умножить на косинус тета умножить на модуль вектора b что такое а умножить на косинус тета давайте опустим из конца вектора перпендикулярно вектор b что такое косинус тета косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе и где у нас катит прилежащий к углу тета это вот этот отрезок а гипотенуза это длина вектора а давайте выпишем отдельно косинус тета равен отношению прилежащего катета давайте назовем его проекции вектора а на вектор b представьте что сверху строго перпендикулярно вектору b светит солнце тогда прилежащий к углу тета катет это тень от вектора а на вектор b или можно считать его составляющие вектора которая направлена вдоль вектора б я привык представлять себе проекцию видеть тени если строго сверху светит солнце тогда проекция одного вектора на другой это те нет одного вектора падающая на 2 давайте обозначим проекцию вектора а на вектор b за с индексом б и нас интересует длина этого отрезка то есть модуль проекции это у нас прилежащий катет а косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе гипотенуза в нашем случае это модуль вектора это основы тригонометрии давайте умножим обе части равенства на модуль вектора получится что модуль проекции вектора а на вектор b то есть вот этот отрезок равен произведению модуля вектора на косинус угла тета и у нас получилось вот это выражение из определения скалярного произведения таким образом первые два множителя вот этого произведения можно представить как модуль проекции вектора а на вектор b и в определении скалярного произведения векторов это проекция умножается на модуль вектора b таким образом что у нас значит скалярное произведение мы берем один вектор из произведения и смотрим какая часть этого вектора направлена вдоль второго вектора и умножаем на длину 2 вектора где это может применяться например физики при нахождении работы работает и произведение силы на расстояние но нас интересуется не просто величина силы ато часть силы которая направлена вдоль вектора перемещения то есть вдоль отрезка расстояния представим себе предмет весом 10 ньютонов этот предмет лежит на льду то есть под ним нет трения силой трения мы пренебрегаем я начинаю тянуть этот предмет с силой 100 ньютонов направленный под углом к поверхности я тяну его ровно столько чтобы сместить предмет на 10 метров допустим угол между направлением силы и поверхностью равен 60 градусам и липина 3 радио нам и нас спрашивают какую работу я проделаю если будут силой 100 ньютонов тянуть это тело за веревку под углом 60 градусов в горизонту и перемещу его на 10 метров как я уже говорил работа это произведение силы на расстояние но сила берется не полностью а только то ее составляющая которая направлена вдоль вектора расстояния только проекция силы на поверхность перемещения в нашем случае если 100 ньютонов умножить на косинус 60 градусов то мы получим ту часть силы которая направлена строго вправо туда же куда перемещается предмет давайте подпишем это у меня вектор силы а это вектор расстояния и получается что выполненная работ равна скалярному произведению вектора силы на вектор расстояния то есть это равно модулю вектора силы то есть 100 ньютонам умножить на модуль вектора перемещения на 10 метров и умноженному на косинус угла между этими векторами на косинус 60 градусов получается 500 джоулей так или иначе я хотел показать вам пример применение скалярного произведения векторов в частности она полезна при расчетах работает так как сразу учитывает проекцию вектора силы на вектор перемещения нужно переставить множители местами и рассмотреть как произведение модуля вектора b на косинус тета и на а что такое b умножить на косинус тета можете проверить самостоятельно но проведя похожие рассуждение мы получим что эта проекция вектора b на вектор а для скалярного произведения не важен порядок множителей когда мы считаем векторное произведение а умножить на b и b умножить на дадут разные результаты так как при перестановки множителей векторное произведение поменяет знак на противоположный на скалярное произведение позволяет переставлять множители таким образом б на косинус тета это длина проекции вектора b на вектор а то есть если опустить перпендикуляр из вершин и вектора b на вектор a to b косинус тета это будет длина вот этого отрезка иными словами мы смотрим какая часть вектора b направлена в ту же сторону что и вектора и умножаем длину этого отрезка на модуль вектора или наоборот какая часть вектора направлена вдоль вектора b и умножаем длину этого отрезка на модуль вектора b какое же главное отличие векторного произведения от скалярного результат скалярного произведения скалярная величина то есть обычное число по сути она показывает как эти два вектора усиливают друг друга ведь мы перемножаем длинный составляющих этих векторов направленных в одну сторону векторном произведении все наоборот во-первых результатом векторного произведения является вектор во вторых учитываются ортогональные составляющие векторов если в скалярном произведении мы берем косинус угла между векторами то в векторном синус но повторюсь векторном произведении перемножаются составляющие векторов которые перпендикулярны друг другу и результатом будет вектор который направлен совсем в другую сторону от векторов множителей он будет перпендикулярен им обоим причем поскольку таких векторов 2 то при помощи правила правой руки мы должны будем определиться с направлением итак на этом пока закончим в следующем видео мы продолжим этот разговор и подробно сравним векторное и скалярное произведение векторов спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них ответим