Что такое магнитный поток?

Если площадь областей, закрашенных голубым цветом, на рисунке 1 одинакова, а угол $\theta$‍ равен ${25}^{\circ }$‍, тогда на сколько процентов магнитный поток на левой схеме меньше магнитного потока на правой схеме?

Решение

Если взглянуть на формулу магнитного потока, проходящего сквозь поверхность, мы увидим, что в случае, когда площадь поверхности и индукция магнитного поля остаются неизменными, тогда на результат может повлиять только угол наклона. Здесь на диаграмме отмечен угол между поверхностью, окрашенной голубым цветом, и нормалью к магнитному полю. Этот угол равен углу между магнитным полем и нормалью к поверхности, окрашенной голубым цветом. Значит, поскольку

$\cos {25}^{\circ }\simeq 0,91$‍

магнитный поток, проходящий сквозь наклонную поверхность, приблизительно на 9% меньше потока, проходящего сквозь перпендикулярную поверхность.

Как измеряется магнитный поток?

На рисунке 2 показана схема неоднородного магнитного поля неподалёку от большого плоского магнетика. Зелёной линией обозначен замкнутый провод. Чему равен магнитный поток, проходящий сквозь ограниченную им поверхность?

Рисунок 2. Схема магнитного поля, индукция которого измерена в различных точках вокруг замкнутого провода.

Решение

Чтобы найти магнитный поток, мы должны узнать площадь рассматриваемой поверхности и индукцию, пересекающего её, магнитного поля. В случае неоднородного магнитного поля мы должны взять среднее значение индукции внутри замкнутого контура.

$\begin{array}{rl}{B}_{средн.}& =\frac{123\mathrm{м}\mathrm{Т}\mathrm{л}}{30}\\ & =4,1\mathrm{м}\mathrm{Т}\mathrm{л}\end{array}$‍

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =A{B}_{средн.}\\ & =(0,05\mathrm{м}\cdot 0,06\mathrm{м})\cdot (4,1\mathrm{м}\mathrm{Т}\mathrm{л})\\ & =\mathrm{0,012}3\mathrm{м}\mathrm{В}\mathrm{б}\end{array}$‍

Зачем это нужно?

1. Если в магнитном поле перемещается замкнутый контур из проводника, в нём образуется напряжение, зависящее от площади фигуры, ограниченной контуром. Это явление описывается законом Фарадея и подробно рассматривается в нашей статье о законе Фарадея. Этот закон используется в электродвигателях и генераторах, в которых контуры вращаются в магнитном поле, как показано на рисунке 3. В этом примере магнитный поток изменяется с вращением контура. Описание магнитного потока позволяет инженерам легко вычислять напряжение, порождаемое электрогенератором, даже если магнитное поле само по себе достаточно сложное.

   Рисунок 3: Упрощённая схема вращающегося контура в электрогенераторе.

2. Несмотря на то, что до этого мы рассматривали только простые плоские прямоугольные области, однако можно взять поверхность абсолютно любой формы. Более того, мы можем даже рассматривать замкнутые поверхности, такие как, например, сфера, ограничивающая интересующую нас область пространства. Замкнутые поверхности особенно интересны физикам с точки зрения теоремы Гаусса о магнитных полях. Поскольку у любых магнитов всегда есть ровно два полюса, невозможно, чтобы внутри замкнутой поверхности оказался магнитный монополь(по крайней мере, насколько нам это известно). Это значит, что суммарный магнитный поток, проходящий через замкнутую поверхность, всегда равен нулю, а следовательно, все силовые линии, входящие в область, ограниченную замкнутой поверхностью, уравновешиваются силовыми полями, выходящими из неё. Знание этого факта может упростить решение некоторых задач на магнитные поля.

Магнитный поток вокруг проводника с током

На рисунке 4 изображён квадратный контур, помещённый рядом с проводником, по которому течёт ток. Используя данные, обозначенные на рисунке, найдите магнитный поток, проходящий через контур. Если вы не знаете, как вычисляется индукция магнитного поля, создаваемого проводником, перечитайте нашу статью о магнитном поле. Подсказка: полезно построить график зависимости магнитной индукции от расстояния до проводника.

Рисунок 4. Магнитный поток, проходящий сквозь контур, который находится рядом с прямым проводником с током.

Решение

Как вы помните из статьи, посвящённой магнитному полю, магнитная индукция на расстоянии $r$‍ от длинного прямого провода, по которому течёт ток $I$‍, находится по формуле:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$‍.

Здесь ${\mu }_0$‍ — это магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума). ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{Т}\mathrm{л}\cdot \mathrm{м}/\mathrm{А}$‍.

Если построить график зависимости магнитной индукции от вертикального расстояния, то площадь под этим графиком между точками на оси $x$‍, соответствующим пересекаемой площади, поможет нам найти поток. Есть несколько способов вычислить площадь под графиком, для самого точного способа нам потребуются инструменты из математического анализа. Но часто бывает достаточно простого графического приближения. На рисунке 5 показан интересующий нас график, где серым цветом закрашена площадь, соответствующая плоскости пересечения магнитного поля контуром.

Рисунок 5. График зависимости магнитной индукции от расстояния из задания 1.

Если посчитать, сколько квадратов на рисунке 5 закрашено серым цветом, получится приблизительно 44,5 квадратов. Следовательно, итоговая площадь равна:

$44,5\cdot (5\cdot {10}^{-3}\mathrm{м})\cdot (5\cdot {10}^{-6}\mathrm{Т}\mathrm{л})=\mathrm{1,112}5\cdot {10}^{-6}\mathrm{Т}\mathrm{л}\ast \mathrm{м}$‍

Эта площадь даёт нам произведение магнитной индукции на расстояние, однако нам нужно было найти произведение магнитной индукции на площадь. В горизонтальном направлении поле не меняется, а значит, мы можем просто умножить полученный результат на ширину контура.

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =(\mathrm{1,112}5\cdot {10}^{-6}\mathrm{Т}\mathrm{л}\ast \mathrm{м})\cdot (75\cdot {10}^{-3}\mathrm{м})\\ & \simeq 8\cdot {10}^{-8}\mathrm{В}\mathrm{б}\end{array}$‍