If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание
Текущее время:0:00Общая продолжительность:10:02

Транскрипция к видео

мы с вами умеем складывать векторы и вычитать их но что будет если векторы перемножить есть два варианта умножения векторов скалярное и векторное вообще говоря любая операция над любыми элементами было искусственно придумано людьми для каких-то определенных целей и векторное произведение не исключение я делаю эту оговорку потому что когда я впервые столкнулся с векторным произведением эта операция мне показалось немного неестественной но давайте перейдем к сути итак представим что вас есть два вектора а и b и мы их перемножаем существует два варианта записи векторного произведения один из вариантов поставить между векторами знак умножения в виде крестика такой каким вы пользовались до того как стали изучать алгебру и перешли на точке скобки и так далее второй вариант перечислить оба вектора через запятую и взять их квадратные скобки и так векторное произведение двух векторов равняется то что я сейчас скажу может показаться вам странным и непонятным но надеюсь мне удастся потом пояснить более наглядно это равняется длине вектора умноженной на длину вектора b умножить на синус угла между этими векторами точнее синус наименьшего угла между ними и это еще не все результат векторного произведения это не просто скалярная величина не просто некое число это вектор у которого есть направление это направление задается единичным вектором н поставлю сверху буква н крышечку чтобы показать что это единичный вектор и направление этого вектора н определяется двумя факторами во первых вектор n должен быть перпендикулярен обоим перемножаем им вектором он ортогонален обоим изначальным вектором чуть попозже наглядно поясню как это и второй фактор направление этого вектора н определяется по правилу правой руки что это такое я тоже чуть позже поясню давайте теперь попробуем представить себе картинку и тут важно пояснить еще одну вещь умножать векторы можно только в трехмерном пространстве вы можете конечно придумать и определить векторное произведение для других пространств но математики используют его только в трехмерном пространстве что очень полезно для нас потому что мы как раз живем в трехмерном мире я думаю что посмотрев на наглядную картинку вы поймете что такое векторное произведение особенно если разберитесь с правилом правой руки и так пусть это у нас вектор b это у нас пусть будет вектор a и мы хотим найти их векторное произведение давайте подпишем вектор а и вектор b и угол между этими векторами равен тета и пусть например длина вектора равна 5 а длина вектора b равна 10 я беру сейчас совершенно произвольные числа чему равно их векторное произведение давайте еще определим угол между векторами пусть n равняется 30 градусам на практике мы чаще пользуемся градусами при измерении углов и мне тоже всегда проще оперировать градусами но при желании можно записать величину этого угла и в радианах это равняется пи на 6 и так чему равняется произведение векторов а и b а умножить на b равно длине вектора на равняется 5 умножить на длину вектора b то есть на 10 и умножить на синус угла между ними теоретически вы можете рассмотреть больше угол вот этот но я специально сразу же обратил ваше внимание что нужно брать наименьший угол и все это умножить на загадочный вектор н это единичный вектор его длина единица направлении мы сейчас узнаем пока давайте посчитаем скалярную часть произведения пять на десять это 50 чему равен синус 30 градусов он равен одной второй и так получается 5 умножить на 10 умножить на одну вторую и умножить на единичный вектор н это равняется 25 умножить на единичный вектор и вот сейчас начинается или самое интересное или самая непонятная в каком направлении указывает этот вектор как я уже говорил он перпендикулярен обоим изначальным вектором как может у некий третий вектор быть перпендикулярен обоим этим вектором дело в том что векторы а и б я рисовал на плоскости в двумерном пространстве но если бы я мог выйти стилусом за пределы моего графического планшета или с вашей точки зрения за пределы экрана тогда я смог бы изобразить вектор перпендикулярный им обоим я не могу его нарисовать но представьте себе вектор который начинается в этой точке и направлен из экрана либо строго на вас либо строго от вас надеюсь вы поняли о чем я говорю и давайте я покажу вам пару условных обозначений если где-то буду рисовать вот такой кружок с крестом в середине это обозначает вектор который направлен от вас в сторону экрана а если рисую кружок с точкой по центру это означает вектор направлен и от экрана к вам откуда взялись такие условное обозначение представьте себе стрелу обычно стрелками изображают векторы но представьте что это стрела которой стреляют из лука наконечник стрелы круглый и сходится в точку если бы мы стояли справа от стрелы и смотрели бы на ее наконечник мы бы видели примерно такую картину как здесь это . это самый конец стрелы а что у стрелы с другой стороны перья вот один ряд перьев вот 2 и теперь представьте что вы смотрите на стрелу сзади вы увидите вот такой крест и за перине и таким образом вот это вектор который смотрит от вас а это вектор который смотрит на вас и так мы знаем что вектор n должен быть перпендикулярен векторам а и б это значит что он должен быть перпендикулярен или ортогонален плоскости экрана но как узнать в какую сторону он направлен на вас или от вас и тут нам на помощь приходит правило правой руки я знаю что сейчас вам все может показаться очень сложным и запутанным но потом мы с вами разберём несколько задач и все станет понятнее что такое правило правой руки вам нужно поставить указательный палец правой руки вдоль первого вектора да здесь важен порядок в котором векторы перемножаются вот это моя правая рука указательный палец направлен вдоль вектора а и мой средний палец направлен как раз вдоль вектора b вместе эти два пальца образуют перевёрнутую букву г или можно сказать что они в таком положении как будто я стреляю из пистолета и нам сейчас важно в какую сторону смотрит большой палец сейчас он направлен от вас в сторону экрана если вы попробуйте поставить свою правую руку так как у меня на этом рисунке то ваш большой палец будет направлен от вас в сторону экрана значит итоговый вектор будет иметь длину 25 и он будет тоже направлен от вас в сторону экрана то есть я его могу обозначить вот таким кружком с крестиком давайте попробуем нарисовать трёхмерную картинку в перспективе представьте что этот вектор у меня направлен строго вниз вдоль вектора н тогда вектора пойдет как то вот так вектор b пойдет как то так я сейчас пытаюсь изобразить трёхмерную картинку на двумерной плоскости но надеюсь принцип вы поняли здесь я рисовал а и b на плоскости здесь я изобразил перспективу вектор n направлен вниз вот как определяется векторное произведение итак на этом мы пока закончим а в следующем видео мы постараемся разобрать несколько примеров и надеюсь вы тогда сможете намного лучше разбираться в этой сложной теме спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них ответим